# 第 1503 題：有限離散動力核對

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0002-01503 · q-20261013-advance-20261020-r01-discrete-dynamical-system-0053



## 原題與已知條件

明示有限狀態自映射。操作=dynamics-fixed-point-inventory；資料={"modulus":7,"a":-2,"b":5}。請依 [modulus,a,b,fixed_points] 欄序回答。


- G001 — 明示有限狀態自映射。操作=dynamics-fixed-point-inventory；資料={"modulus":7,"a":-2,"b":5}。請依 [modulus,a,b,fixed_points] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-discrete-dynamical-system](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-discrete-dynamical-system/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

X={0 through 6}; T(x)=(-2x+(5)) mod 7

操作後

remainder representative always lies in X

條件：無

固定完整有限狀態域與同一更新規則；負整數也取0到n−1的標準餘數。

步驟識別與依賴規則：finite_total_map · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

candidate0: a·x := mul(-2, 0)

操作後

candidate0: a·x = 0

條件：無

先把原係數乘當前狀態，不先把負數截成0。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

candidate0: a·x+b := sum(0, 5)

操作後

candidate0: a·x+b = 5

條件：無

加上同一常數平移後才取模。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

reduce 5 modulo 7

操作後

5=0·7+5

條件：無

此整數等式及0≤餘數<n一起確定下一個狀態。

步驟識別與依賴規則：euclidean_remainder · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

T(0)=5

操作後

fixed-point condition T(x)=x: 否

條件：無

固定點須更新後仍是同一個狀態，不是只要求回到狀態域。

步驟識別與依賴規則：fixed_point_equality · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

candidate1: a·x := mul(-2, 1)

操作後

candidate1: a·x = -2

條件：無

先把原係數乘當前狀態，不先把負數截成0。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

candidate1: a·x+b := sum(-2, 5)

操作後

candidate1: a·x+b = 3

條件：無

加上同一常數平移後才取模。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

reduce 3 modulo 7

操作後

3=0·7+3

條件：無

此整數等式及0≤餘數<n一起確定下一個狀態。

步驟識別與依賴規則：euclidean_remainder · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

T(1)=3

操作後

fixed-point condition T(x)=x: 否

條件：無

固定點須更新後仍是同一個狀態，不是只要求回到狀態域。

步驟識別與依賴規則：fixed_point_equality · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

candidate2: a·x := mul(-2, 2)

操作後

candidate2: a·x = -4

條件：無

先把原係數乘當前狀態，不先把負數截成0。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

candidate2: a·x+b := sum(-4, 5)

操作後

candidate2: a·x+b = 1

條件：無

加上同一常數平移後才取模。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

reduce 1 modulo 7

操作後

1=0·7+1

條件：無

此整數等式及0≤餘數<n一起確定下一個狀態。

步驟識別與依賴規則：euclidean_remainder · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

T(2)=1

操作後

fixed-point condition T(x)=x: 否

條件：無

固定點須更新後仍是同一個狀態，不是只要求回到狀態域。

步驟識別與依賴規則：fixed_point_equality · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

candidate3: a·x := mul(-2, 3)

操作後

candidate3: a·x = -6

條件：無

先把原係數乘當前狀態，不先把負數截成0。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

candidate3: a·x+b := sum(-6, 5)

操作後

candidate3: a·x+b = -1

條件：無

加上同一常數平移後才取模。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

reduce -1 modulo 7

操作後

-1=-1·7+6

條件：無

此整數等式及0≤餘數<n一起確定下一個狀態。

步驟識別與依賴規則：euclidean_remainder · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

T(3)=6

操作後

fixed-point condition T(x)=x: 否

條件：無

固定點須更新後仍是同一個狀態，不是只要求回到狀態域。

步驟識別與依賴規則：fixed_point_equality · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

candidate4: a·x := mul(-2, 4)

操作後

candidate4: a·x = -8

條件：無

先把原係數乘當前狀態，不先把負數截成0。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

candidate4: a·x+b := sum(-8, 5)

操作後

candidate4: a·x+b = -3

條件：無

加上同一常數平移後才取模。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

reduce -3 modulo 7

操作後

-3=-1·7+4

條件：無

此整數等式及0≤餘數<n一起確定下一個狀態。

步驟識別與依賴規則：euclidean_remainder · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

T(4)=4

操作後

fixed-point condition T(x)=x: 是

條件：無

固定點須更新後仍是同一個狀態，不是只要求回到狀態域。

步驟識別與依賴規則：fixed_point_equality · 依賴：G001, S020





S022 · calculation操作前

candidate5: a·x := mul(-2, 5)

操作後

candidate5: a·x = -10

條件：無

先把原係數乘當前狀態，不先把負數截成0。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021





S023 · calculation操作前

candidate5: a·x+b := sum(-10, 5)

操作後

candidate5: a·x+b = -5

條件：無

加上同一常數平移後才取模。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

reduce -5 modulo 7

操作後

-5=-1·7+2

條件：無

此整數等式及0≤餘數<n一起確定下一個狀態。

步驟識別與依賴規則：euclidean_remainder · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

T(5)=2

操作後

fixed-point condition T(x)=x: 否

條件：無

固定點須更新後仍是同一個狀態，不是只要求回到狀態域。

步驟識別與依賴規則：fixed_point_equality · 依賴：G001, S024





S026 · calculation操作前

candidate6: a·x := mul(-2, 6)

操作後

candidate6: a·x = -12

條件：無

先把原係數乘當前狀態，不先把負數截成0。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025





S027 · calculation操作前

candidate6: a·x+b := sum(-12, 5)

操作後

candidate6: a·x+b = -7

條件：無

加上同一常數平移後才取模。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

reduce -7 modulo 7

操作後

-7=-1·7+0

條件：無

此整數等式及0≤餘數<n一起確定下一個狀態。

步驟識別與依賴規則：euclidean_remainder · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

T(6)=0

操作後

fixed-point condition T(x)=x: 否

條件：無

固定點須更新後仍是同一個狀態，不是只要求回到狀態域。

步驟識別與依賴規則：fixed_point_equality · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

all 7 carrier elements audited

操作後

complete fixed set=[4]

條件：無

完整有限域已逐點窮盡，所以不漏固定點；空清單表示這個T沒有固定點。

步驟識別與依賴規則：exhaustive_fixed_inventory · 依賴：G001, S029









## 逐步反向核對


- S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate6: a·x+b，不以小數近似替代。
- S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate6: a·x，不以小數近似替代。
- S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate5: a·x+b，不以小數近似替代。
- S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate5: a·x，不以小數近似替代。
- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate4: a·x+b，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate4: a·x，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate3: a·x+b，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate3: a·x，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate2: a·x+b，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate2: a·x，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate1: a·x+b，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate1: a·x，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate0: a·x+b，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate0: a·x，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(7, -2, 5, [4])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 6e1d2766cf9e34d818d978f73667568b1c67b23df1f1d390231c0ab16742e84e
- candidate record SHA-256: e1b1aed5ee9137791582654c49f07f79cb4191cb015d65c24c05e5d5be543040
- semantic review receipt SHA-256: 340d74dcc6e37df6249594a0b79a9ee2af804337b7847478b3c1342af9722861
- question-first witness SHA-256: 9a06233d190d31a16f13fb03b6c3ceba4cbb748fff6c997941f66ab1888dcca8
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261020-r01-discrete-dynamical-system-0053.json)