# 第 1991 題：多項式 ODE 候選核對 [返回所在分頁 10](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/10/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261020-r02-ordinary-differential-equation-foundations/#q-20261013-advance-20261020-r02-ordinary-differential-equation-0066) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0002-01991 · q-20261013-advance-20261020-r02-ordinary-differential-equation-0066 ## 原題與已知條件 整係數多項式候選。操作=ode-second-order-residual；資料={"coefficients":[7,-2,0,0],"a":1,"b":-2,"c":2,"rhs":25,"x":-2}。請依 [coefficients,x,y,y_prime,y_second,a,b,c,rhs,residual,is_solution_at_x] 欄序回答。 - G001 — 整係數多項式候選。操作=ode-second-order-residual；資料={"coefficients":[7,-2,0,0],"a":1,"b":-2,"c":2,"rhs":25,"x":-2}。請依 [coefficients,x,y,y_prime,y_second,a,b,c,rhs,residual,is_solution_at_x] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-ordinary-differential-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-ordinary-differential-equation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 candidate y ascending coefficients=[7, -2, 0, 0] 操作後 audit point x=-2 條件：無 原係數清單完整保留，包括零最高次項；只檢查題目指定的多項式候選與位置。 步驟識別與依賴規則：polynomial_candidate_domain · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 y′ coefficient at degree0 := mul(1, -2) 操作後 y′ coefficient at degree0 = -2 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 y′ coefficient at degree1 := mul(2, 0) 操作後 y′ coefficient at degree1 = 0 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 y′ coefficient at degree2 := mul(3, 0) 操作後 y′ coefficient at degree2 = 0 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 y″ coefficient at degree0 := mul(1, 0) 操作後 y″ coefficient at degree0 = 0 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 y″ coefficient at degree1 := mul(2, 0) 操作後 y″ coefficient at degree1 = 0 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 y ascending coefficients=[7, -2, 0, 0] 操作後 evaluate at x=-2 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 y Horner multiply before degree0 := mul(-2, -2) 操作後 y Horner multiply before degree0 = 4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 y Horner add degree0 := sum(4, 7) 操作後 y Horner add degree0 = 11 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 y′ ascending coefficients=[-2, 0, 0] 操作後 evaluate at x=-2 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 y″ ascending coefficients=[0, 0] 操作後 evaluate at x=-2 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 a·y″ := mul(1, 0) 操作後 a·y″ = 0 條件：無 各導數先乘其自己的原始方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 b·y′ := mul(-2, -2) 操作後 b·y′ = 4 條件：無 各導數先乘其自己的原始方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 c·y := mul(2, 11) 操作後 c·y = 22 條件：無 各導數先乘其自己的原始方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 a·y″+b·y′+c·y := sum(0, 4, 22) 操作後 a·y″+b·y′+c·y = 26 條件：無 完整加總三項後才與rhs比較。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 second-order residual := sub(26, 25) 操作後 second-order residual = 1 條件：無 依同一左減右方向求殘差。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 residual at x=-2 is 1 操作後 equation holds at this point: 否 條件：無 只證在這一點是否成立；一點殘差為0不等於全實數上的微分方程解。 步驟識別與依賴規則：point_residual_verdict · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 global solution would require the residual identity on the declared domain 操作後 no automatic existence,uniqueness or global-solution claim 條件：無 方程階數由方程的非零最高導數係數決定，不由候選多項式次數決定；本題不套一般存在唯一性定理。 步驟識別與依賴規則：ODE_scope_guard · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second-order residual，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″+b·y′+c·y，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 c·y，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b·y′，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ coefficient at degree0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([7, -2, 0, 0], -2, 11, -2, 0, 1, -2, 2, 25, 1, 否) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c2d78a6c9d84755b139ddfe2f25975cbd7bab95f032d11dfb8241f2c0b99338c - candidate record SHA-256: db0fd43602d30cbb08c1343de5f055a0aafd16285f020e6a2c4dce53daa129bb - semantic review receipt SHA-256: 340d74dcc6e37df6249594a0b79a9ee2af804337b7847478b3c1342af9722861 - question-first witness SHA-256: 9a06233d190d31a16f13fb03b6c3ceba4cbb748fff6c997941f66ab1888dcca8 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261020-r02-ordinary-differential-equation-0066.json)