# 第 1693 題：精確有理誤差

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0002-01693 · q-20261013-advance-20261020-r03-numerical-approximation-error-0068



## 原題與已知條件

精確有理數。操作=error-tolerance-audit；資料={"approximation":[37,3],"reference":[9,2],"tolerance":[6,5]}。請依 [approximation,reference,absolute_error,tolerance,within_tolerance] 欄序回答。


- G001 — 精確有理數。操作=error-tolerance-audit；資料={"approximation":[37,3],"reference":[9,2],"tolerance":[6,5]}。請依 [approximation,reference,absolute_error,tolerance,within_tolerance] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-numerical-approximation-error](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-numerical-approximation-error/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

reference=9/2

操作後

all values are exact rationals

條件：無

這是指定參考值下的精確誤差運算，不以浮點四捨五入改變等號邊界。

步驟識別與依賴規則：exact_error_model · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

approximation−reference := sub(37/3, 9/2)

操作後

approximation−reference = 47/6

條件：無

先計算帶符號誤差，順序固定為近似值減參考值。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

absolute error := mul(1, 47/6)

操作後

absolute error = 47/6

條件：無

依誤差符號取絕對值，結果非負。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

signed error=47/6

操作後

absolute error=47/6≥0

條件：無

絕對誤差與原量同單位；負參考值也不會使絕對誤差變負。

步驟識別與依賴規則：absolute_error_definition · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

absolute error=47/6; tolerance=6/5

操作後

absolute error≤tolerance: 否

條件：無

合約採≤而不是<，等於容差的案例仍通過。

步驟識別與依賴規則：inclusive_tolerance · 依賴：G001, S004









## 逐步反向核對


- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 absolute error，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 approximation−reference，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(37/3, 9/2, 47/6, 6/5, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 3b686164231190c67661e381d33726179dc507c2c9d5a69abebe9af93a953843
- candidate record SHA-256: a4eac386d6625618d50be67259ac0472d2446f5bd754d3e8e936c3ad31b20736
- semantic review receipt SHA-256: 340d74dcc6e37df6249594a0b79a9ee2af804337b7847478b3c1342af9722861
- question-first witness SHA-256: 9a06233d190d31a16f13fb03b6c3ceba4cbb748fff6c997941f66ab1888dcca8
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261020-r03-numerical-approximation-error-0068.json)