# 第 1641 題：精確有理誤差

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0002-01641 · q-20261013-advance-20261020-r03-numerical-approximation-error-0091



## 原題與已知條件

精確有理數。操作=error-error-interval；資料={"reference":[7,4],"tolerance":[4,3],"candidate":[31,1]}。請依 [reference,tolerance,lower,upper,candidate,in_interval] 欄序回答。


- G001 — 精確有理數。操作=error-error-interval；資料={"reference":[7,4],"tolerance":[4,3],"candidate":[31,1]}。請依 [reference,tolerance,lower,upper,candidate,in_interval] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-numerical-approximation-error](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-numerical-approximation-error/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

reference=7/4

操作後

all values are exact rationals

條件：無

這是指定參考值下的精確誤差運算，不以浮點四捨五入改變等號邊界。

步驟識別與依賴規則：exact_error_model · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

reference−tolerance := sub(7/4, 4/3)

操作後

reference−tolerance = 5/12

條件：無

先計算閉區間下界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

reference+tolerance := sum(7/4, 4/3)

操作後

reference+tolerance = 37/12

條件：無

再計算閉區間上界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

|candidate−reference|≤tolerance

操作後

reference−tolerance≤candidate≤reference+tolerance

條件：無

由−epsilon≤誤差≤epsilon，兩邊同加reference得到閉區間；端點相等也通過。

步驟識別與依賴規則：closed_interval_equivalence · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

candidate−reference := sub(31, 7/4)

操作後

candidate−reference = 117/4

條件：無

另算實際偏差回核區間判斷。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

candidate=31; |deviation|=117/4

操作後

inside closed interval: 否

條件：無

誤差絕對值不超過容差與閉區間判斷一致，epsilon=0時只容許reference本身。

步驟識別與依賴規則：interval_membership · 依賴：G001, S005









## 逐步反向核對


- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate−reference，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reference+tolerance，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reference−tolerance，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(7/4, 4/3, 5/12, 37/12, 31, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: c362a346a791a1913dbd2beef363ef0dd919f82e28cc8da91b4f0704ac710f8f
- candidate record SHA-256: 2f7e078c59820314740569ca9a7aa623f6f60648173751292cdf9b15d973f541
- semantic review receipt SHA-256: 340d74dcc6e37df6249594a0b79a9ee2af804337b7847478b3c1342af9722861
- question-first witness SHA-256: 9a06233d190d31a16f13fb03b6c3ceba4cbb748fff6c997941f66ab1888dcca8
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261020-r03-numerical-approximation-error-0091.json)