# 第 1714 題：離散固定因子模型 [返回所在分頁 9](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/9/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261020-r06-discrete-exponential-growth-foundations/#q-20261013-advance-20261020-r06-discrete-exponential-growth-0064) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0002-01714 · q-20261013-advance-20261020-r06-discrete-exponential-growth-0064 ## 原題與已知條件 固定時間步與精確固定因子。操作=growth-closed-form-audit；資料={"initial":[5,4],"factor":[2,3],"n":3,"candidate":[10,27]}。請依 [initial,factor,n,term,candidate,matches] 欄序回答。 - G001 — 固定時間步與精確固定因子。操作=growth-closed-form-audit；資料={"initial":[5,4],"factor":[2,3],"n":3,"candidate":[10,27]}。請依 [initial,factor,n,term,candidate,matches] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-discrete-exponential-growth](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-discrete-exponential-growth/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 factor q=2/3≥0 操作後 X_(k+1)=q·X_k 條件：無 固定同一因子；這是題目明示的離散模型，不從少量數值猜測一般規律。 步驟識別與依賴規則：fixed_factor_recurrence · 依賴：G001 S002 · implies操作前 X₀=5/4; n=3 操作後 n=0 uses the initial value; an empty product equals1 條件：無 n表示轉移次數；n=0不先更新，也不需要除以q，因此q=0仍可處理。 步驟識別與依賴規則：initial_and_empty_product · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 X_1 := mul(5/4, 2/3) 操作後 X_1 = 5/6 條件：無 逐步依同一recurrence更新，完整保留每個中間值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 X_2 := mul(5/6, 2/3) 操作後 X_2 = 5/9 條件：無 逐步依同一recurrence更新，完整保留每個中間值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 X_3 := mul(5/9, 2/3) 操作後 X_3 = 10/27 條件：無 逐步依同一recurrence更新，完整保留每個中間值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 X_k=X₀q^k ⇒ X_(k+1)=qX_k=X₀q^(k+1) 操作後 X_n=X₀q^n for every nonnegative integer n 條件：無 初項成立，乘q即可從k推到k+1；這是歸納論證，不是只靠有限表猜公式。 步驟識別與依賴規則：recurrence_induction · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 (2/3)^3 操作後 q^n = 8/27 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 closed-form X_n := mul(5/4, 8/27) 操作後 closed-form X_n = 10/27 條件：無 再用冪公式獨立代值，應與逐步更新相同。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 computed X_3=10/27; candidate=10/27 操作後 candidate correct at this n: 是 條件：無 此處核對指定索引的一個候選值，不把一次相等當成任意候選公式的全域恆等。 步驟識別與依賴規則：candidate_at_index · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 closed-form X_n，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X_3，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X_2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X_1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (5/4, 2/3, 3, 10/27, 10/27, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d1ac3fe2965168ab1528fd7b310f77e9b776ae5f8a18d64a5c34a5f38ca771d4 - candidate record SHA-256: 1ca18889e02357d039f89d43fa0038219ece9db7ec806e0c5b87a554952aada2 - semantic review receipt SHA-256: 340d74dcc6e37df6249594a0b79a9ee2af804337b7847478b3c1342af9722861 - question-first witness SHA-256: 9a06233d190d31a16f13fb03b6c3ceba4cbb748fff6c997941f66ab1888dcca8 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261020-r06-discrete-exponential-growth-0064.json)