# 第 1840 題：固定期複利模型 [返回所在分頁 10](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/10/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261020-r07-compound-interest-foundations/#q-20261013-advance-20261020-r07-compound-interest-0090) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0002-01840 · q-20261013-advance-20261020-r07-compound-interest-0090 ## 原題與已知條件 固定每期利率且無現金流。操作=interest-interest-earned；資料={"principal":[170,3],"rate":[2,20],"periods":2}。請依 [principal,rate,periods,future,interest] 欄序回答。 - G001 — 固定每期利率且無現金流。操作=interest-interest-earned；資料={"principal":[170,3],"rate":[2,20],"periods":2}。請依 [principal,rate,periods,future,interest] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-compound-interest](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-compound-interest/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 accumulation factor := sum(1, 1/10) 操作後 accumulation factor = 11/10 條件：無 每期利率加1才是乘到餘額的累積因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · implies操作前 per-period rate=1/10; factor=11/10>0 操作後 fixed-period exact recurrence B_(k+1)=(1+r)B_k 條件：無 只使用固定期、固定利率、無新增收支的精確模型；不當作實際金融商品建議，也不提前作分幣四捨五入。 步驟識別與依賴規則：compound_model_assumptions · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 B₀=170/3; periods=2 操作後 0 periods leave the principal unchanged 條件：無 期數0的餘額就是本金，不能誤加一期間利息。 步驟識別與依賴規則：principal_and_period_count · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 B_1 := mul(170/3, 11/10) 操作後 B_1 = 187/3 條件：無 利息併入餘額後再計下一期；每一步都用同一因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 B_2 := mul(187/3, 11/10) 操作後 B_2 = 2057/30 條件：無 利息併入餘額後再計下一期；每一步都用同一因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 B₀=P; B_(k+1)=(1+r)B_k 操作後 B_n=P(1+r)^n by induction 條件：無 基底期數0成立；若k期公式成立，乘同一因子即可得k+1期。 步驟識別與依賴規則：compound_power_identity · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 (11/10)^2 操作後 (1+r)^n = 121/100 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 future balance := mul(170/3, 121/100) 操作後 future balance = 2057/30 條件：無 以冪公式代回，與逐期餘額互相核對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 net interest := sub(2057/30, 170/3) 操作後 net interest = 119/10 條件：無 利息淨額是期末餘額減本金；負利率時可為負，不截成0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 net interest，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 future balance，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B_2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B_1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 accumulation factor，不以小數近似替代。 ## 結論 (170/3, 1/10, 2, 2057/30, 119/10) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8cc071ef58ed510d98b678f515e5c539d6196befb8de2e132dfc9336db65af11 - candidate record SHA-256: b3a015376cd02114aa6037d922fa1a782b654a3f5a2aeac5185e75b86b764ae2 - semantic review receipt SHA-256: 340d74dcc6e37df6249594a0b79a9ee2af804337b7847478b3c1342af9722861 - question-first witness SHA-256: 9a06233d190d31a16f13fb03b6c3ceba4cbb748fff6c997941f66ab1888dcca8 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261020-r07-compound-interest-0090.json)