# 第 2569 題：有限軌道與週期

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0004-02569 · q-20261013-advance-20261021-r03-orbit-fixed-periodic-0094



## 原題與已知條件

完整有限狀態自映射。操作=orbit-periodic-inventory；資料={"modulus":5,"a":1,"b":10,"period_bound":1}。請依 [modulus,a,b,period_bound,point_period_rows,selected_points] 欄序回答。


- G001 — 完整有限狀態自映射。操作=orbit-periodic-inventory；資料={"modulus":5,"a":1,"b":10,"period_bound":1}。請依 [modulus,a,b,period_bound,point_period_rows,selected_points] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-orbit-fixed-periodic](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-orbit-fixed-periodic/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

n=5; a=1; b=10

操作後

S={0,...,4}; T(z)=(a·z+b) mod n

條件：無

餘數取0到n−1，故每個狀態都有唯一後繼且仍在同一有限集合；負數輸入也不取負餘數。

步驟識別與依賴規則：finite_self_map · 依賴：G001





S002 · implies操作前

start=0

操作後

record each state before its first successor calculation

條件：無

從指定點本身開始，不把第一次更新值誤記為初始狀態。

步驟識別與依賴規則：orbit_initial_state · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

point0 step1 product := mul(1, 0)

操作後

point0 step1 product = 0

條件：無

先將目前狀態乘以原始係數a，保留其正負號。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

point0 step1 affine value := sum(0, 10)

操作後

point0 step1 affine value = 10

條件：無

再加上原始常數b，尚未把此整數當成狀態。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

Euclidean division of 10 by 5

操作後

10=2·5+0

條件：無

用整除商與非負餘數驗算轉移；n>0且0≤餘數<n，故餘數唯一。

步驟識別與依賴規則：orbit_successor · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

distinct trace=[0]; first repeated state=0

操作後

cycle_start=0; starting-point least period=1

條件：無

首個重複值定位循環入口。若入口是初始點，重複前各點互異，故首次回返長度就是最小正週期；若入口較晚，初始點不在循環，永不回返。

步驟識別與依賴規則：finite_orbit_certificate · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

start=1

操作後

record each state before its first successor calculation

條件：無

從指定點本身開始，不把第一次更新值誤記為初始狀態。

步驟識別與依賴規則：orbit_initial_state · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

point1 step1 product := mul(1, 1)

操作後

point1 step1 product = 1

條件：無

先將目前狀態乘以原始係數a，保留其正負號。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

point1 step1 affine value := sum(1, 10)

操作後

point1 step1 affine value = 11

條件：無

再加上原始常數b，尚未把此整數當成狀態。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

Euclidean division of 11 by 5

操作後

11=2·5+1

條件：無

用整除商與非負餘數驗算轉移；n>0且0≤餘數<n，故餘數唯一。

步驟識別與依賴規則：orbit_successor · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

distinct trace=[1]; first repeated state=1

操作後

cycle_start=0; starting-point least period=1

條件：無

首個重複值定位循環入口。若入口是初始點，重複前各點互異，故首次回返長度就是最小正週期；若入口較晚，初始點不在循環，永不回返。

步驟識別與依賴規則：finite_orbit_certificate · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

start=2

操作後

record each state before its first successor calculation

條件：無

從指定點本身開始，不把第一次更新值誤記為初始狀態。

步驟識別與依賴規則：orbit_initial_state · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

point2 step1 product := mul(1, 2)

操作後

point2 step1 product = 2

條件：無

先將目前狀態乘以原始係數a，保留其正負號。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

point2 step1 affine value := sum(2, 10)

操作後

point2 step1 affine value = 12

條件：無

再加上原始常數b，尚未把此整數當成狀態。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

Euclidean division of 12 by 5

操作後

12=2·5+2

條件：無

用整除商與非負餘數驗算轉移；n>0且0≤餘數<n，故餘數唯一。

步驟識別與依賴規則：orbit_successor · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

distinct trace=[2]; first repeated state=2

操作後

cycle_start=0; starting-point least period=1

條件：無

首個重複值定位循環入口。若入口是初始點，重複前各點互異，故首次回返長度就是最小正週期；若入口較晚，初始點不在循環，永不回返。

步驟識別與依賴規則：finite_orbit_certificate · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

start=3

操作後

record each state before its first successor calculation

條件：無

從指定點本身開始，不把第一次更新值誤記為初始狀態。

步驟識別與依賴規則：orbit_initial_state · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

point3 step1 product := mul(1, 3)

操作後

point3 step1 product = 3

條件：無

先將目前狀態乘以原始係數a，保留其正負號。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

point3 step1 affine value := sum(3, 10)

操作後

point3 step1 affine value = 13

條件：無

再加上原始常數b，尚未把此整數當成狀態。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

Euclidean division of 13 by 5

操作後

13=2·5+3

條件：無

用整除商與非負餘數驗算轉移；n>0且0≤餘數<n，故餘數唯一。

步驟識別與依賴規則：orbit_successor · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

distinct trace=[3]; first repeated state=3

操作後

cycle_start=0; starting-point least period=1

條件：無

首個重複值定位循環入口。若入口是初始點，重複前各點互異，故首次回返長度就是最小正週期；若入口較晚，初始點不在循環，永不回返。

步驟識別與依賴規則：finite_orbit_certificate · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

start=4

操作後

record each state before its first successor calculation

條件：無

從指定點本身開始，不把第一次更新值誤記為初始狀態。

步驟識別與依賴規則：orbit_initial_state · 依賴：G001, S021





S023 · calculation操作前

point4 step1 product := mul(1, 4)

操作後

point4 step1 product = 4

條件：無

先將目前狀態乘以原始係數a，保留其正負號。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022





S024 · calculation操作前

point4 step1 affine value := sum(4, 10)

操作後

point4 step1 affine value = 14

條件：無

再加上原始常數b，尚未把此整數當成狀態。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

Euclidean division of 14 by 5

操作後

14=2·5+4

條件：無

用整除商與非負餘數驗算轉移；n>0且0≤餘數<n，故餘數唯一。

步驟識別與依賴規則：orbit_successor · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

distinct trace=[4]; first repeated state=4

操作後

cycle_start=0; starting-point least period=1

條件：無

首個重複值定位循環入口。若入口是初始點，重複前各點互異，故首次回返長度就是最小正週期；若入口較晚，初始點不在循環，永不回返。

步驟識別與依賴規則：finite_orbit_certificate · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

[[0, 1], [1, 1], [2, 1], [3, 1], [4, 1]]

操作後

least positive period≤1: [0, 1, 2, 3, 4]

條件：無

逐一涵蓋所有n個狀態，只選真正週期點且最小週期不超過界限者；不選最終進入循環的前置點。

步驟識別與依賴規則：least_period_bound_filter · 依賴：G001, S026









## 逐步反向核對


- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
- S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step1 affine value，不以小數近似替代。
- S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step1 product，不以小數近似替代。
- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
- S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step1 affine value，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step1 product，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step1 affine value，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step1 product，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step1 affine value，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step1 product，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step1 affine value，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step1 product，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(5, 1, 10, 1, [[0, 1], [1, 1], [2, 1], [3, 1], [4, 1]], [0, 1, 2, 3, 4])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 60d138d85a48383f16e78c860d87b322363239ee66468c431b2a9425a2b3ed5c
- candidate record SHA-256: 1b8c3bd40947c2bccc3d30e04fd9650097f5aa5a1ee594c0ab95ff2aae81aba9
- semantic review receipt SHA-256: 312ae86315346b8955842a547cb2d09246e1f826755f72c2a51f042e5c7d5c56
- question-first witness SHA-256: 831f449ed41ff9144a290e534aa32adf7252d15b81c16ed5886a7dfd65dee70c
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261021-r03-orbit-fixed-periodic-0094.json)