# 第 2289 題：多項式初值候選 [返回所在分頁 12](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/12/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261021-r04-initial-value-problem-foundations/#q-20261013-advance-20261021-r04-initial-value-problem-0039) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0003-02289 · q-20261013-advance-20261021-r04-initial-value-problem-0039 ## 原題與已知條件 整係數多項式候選與明示有限網格。操作=ivp-second-order-initial-audit；資料={"coefficients":[3,3,-1],"x0":1,"y0":5,"dy0":1}。請依 [coefficients,x0,y_x0,y_prime_x0,expected_y,expected_y_prime,y_match,y_prime_match,both] 欄序回答。 - G001 — 整係數多項式候選與明示有限網格。操作=ivp-second-order-initial-audit；資料={"coefficients":[3,3,-1],"x0":1,"y0":5,"dy0":1}。請依 [coefficients,x0,y_x0,y_prime_x0,expected_y,expected_y_prime,y_match,y_prime_match,both] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-initial-value-problem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-initial-value-problem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 candidate polynomial ascending coefficients=[3, 3, -1] 操作後 initial point=1; required y₀=5 條件：無 保留候選多項式及初始資料；網格點不一定包含初始點，需分開代入。 步驟識別與依賴規則：candidate_IVP_data · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 y′ coefficient at degree0 := mul(1, 3) 操作後 y′ coefficient at degree0 = 3 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 y′ coefficient at degree1 := mul(2, -1) 操作後 y′ coefficient at degree1 = -2 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 initial y ascending coefficients=[3, 3, -1] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 initial y Horner multiply before degree1 := mul(-1, 1) 操作後 initial y Horner multiply before degree1 = -1 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 initial y Horner add degree1 := sum(-1, 3) 操作後 initial y Horner add degree1 = 2 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 initial y Horner multiply before degree0 := mul(2, 1) 操作後 initial y Horner multiply before degree0 = 2 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 initial y Horner add degree0 := sum(2, 3) 操作後 initial y Horner add degree0 = 5 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 initial y′ ascending coefficients=[3, -2] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 initial y′ Horner multiply before degree0 := mul(-2, 1) 操作後 initial y′ Horner multiply before degree0 = -2 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 initial y′ Horner add degree0 := sum(-2, 3) 操作後 initial y′ Horner add degree0 = 1 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 y(1)=5; required=5 操作後 value condition=是 條件：無 直接比較初始點的實際函數值，不借用其他網格點。 步驟識別與依賴規則：initial_value_condition · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 y′(1)=1; required=1 操作後 derivative condition=是 條件：無 二階初始資料還要核對導數，兩個條件不能互相替代。 步驟識別與依賴規則：initial_derivative_condition · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 initial data agree or disagree 操作後 no differential-equation assertion from initial data alone 條件：無 即使初始資料符合，也還沒有核對微分方程，更不是存在唯一性定理。 步驟識別與依賴規則：initial_only_scope · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y′ Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y′ Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([3, 3, -1], 1, 5, 1, 5, 1, 是, 是, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 2dc87b4a82e4e8d1409470a4e601e6d0d132369c723fd4acbdb0efbf2d3f3d73 - candidate record SHA-256: 99516002f4ad62b639a00262c0d7b4d93b194061147ab7fc2066eee1c7ad8aa8 - semantic review receipt SHA-256: 5dbc70ebd5f74b23384c93b63a2b1d6519e206c79f22ae16a6c2d7483cea783f - question-first witness SHA-256: cf121c8dd2fec13aa118b04b049ee39494f1d6d9ecdc13514cafb78c0fc021fa - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261021-r04-initial-value-problem-0039.json)