# 第 2253 題：多項式初值候選 [返回所在分頁 12](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/12/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261021-r04-initial-value-problem-foundations/#q-20261013-advance-20261021-r04-initial-value-problem-0078) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0003-02253 · q-20261013-advance-20261021-r04-initial-value-problem-0078 ## 原題與已知條件 整係數多項式候選與明示有限網格。操作=ivp-second-order-candidate-grid；資料={"coefficients":[-10,-1,0],"a":1,"b":0,"c":0,"rhs":0,"xs":[-1,0,1],"x0":0,"y0":-10,"dy0":-1}。請依 [coefficients,a,b,c,rhs,xs,residual_rows,x0,y_x0,y_prime_x0,expected_y,expected_y_prime,y_match,y_prime_match,finite_grid_and_initial_match] 欄序回答。 - G001 — 整係數多項式候選與明示有限網格。操作=ivp-second-order-candidate-grid；資料={"coefficients":[-10,-1,0],"a":1,"b":0,"c":0,"rhs":0,"xs":[-1,0,1],"x0":0,"y0":-10,"dy0":-1}。請依 [coefficients,a,b,c,rhs,xs,residual_rows,x0,y_x0,y_prime_x0,expected_y,expected_y_prime,y_match,y_prime_match,finite_grid_and_initial_match] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-initial-value-problem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-initial-value-problem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 candidate polynomial ascending coefficients=[-10, -1, 0] 操作後 initial point=0; required y₀=-10 條件：無 保留候選多項式及初始資料；網格點不一定包含初始點，需分開代入。 步驟識別與依賴規則：candidate_IVP_data · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 y′ coefficient at degree0 := mul(1, -1) 操作後 y′ coefficient at degree0 = -1 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 y′ coefficient at degree1 := mul(2, 0) 操作後 y′ coefficient at degree1 = 0 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 y″ coefficient at degree0 := mul(1, 0) 操作後 y″ coefficient at degree0 = 0 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 initial y ascending coefficients=[-10, -1, 0] 操作後 evaluate at x=0 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 initial y Horner multiply before degree0 := mul(-1, 0) 操作後 initial y Horner multiply before degree0 = 0 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 initial y Horner add degree0 := sum(0, -10) 操作後 initial y Horner add degree0 = -10 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 initial y′ ascending coefficients=[-1, 0] 操作後 evaluate at x=0 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 y(0)=-10; required=-10 操作後 value condition=是 條件：無 直接比較初始點的實際函數值，不借用其他網格點。 步驟識別與依賴規則：initial_value_condition · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 y′(0)=-1; required=-1 操作後 derivative condition=是 條件：無 二階初始資料還要核對導數，兩個條件不能互相替代。 步驟識別與依賴規則：initial_derivative_condition · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 [-1, 0, 1] 操作後 distinct ordered audit grid=[-1, 0, 1] 條件：無 去重與排序只固定呈現；之後逐一核對所有列出的點。 步驟識別與依賴規則：finite_grid_domain · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 y at-1 ascending coefficients=[-10, -1, 0] 操作後 evaluate at x=-1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 y at-1 Horner multiply before degree0 := mul(-1, -1) 操作後 y at-1 Horner multiply before degree0 = 1 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 y at-1 Horner add degree0 := sum(1, -10) 操作後 y at-1 Horner add degree0 = -9 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 y′ at-1 ascending coefficients=[-1, 0] 操作後 evaluate at x=-1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 y″ at-1 ascending coefficients=[0] 操作後 evaluate at x=-1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 a·y″ at-1 := mul(1, 0) 操作後 a·y″ at-1 = 0 條件：無 各導數乘其自己的方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 b·y′ at-1 := mul(0, -1) 操作後 b·y′ at-1 = 0 條件：無 各導數乘其自己的方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 c·y at-1 := mul(0, -9) 操作後 c·y at-1 = 0 條件：無 各導數乘其自己的方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 left side at-1 := sum(0, 0, 0) 操作後 left side at-1 = 0 條件：無 先加總完整方程左邊。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 residual at-1 := sub(0, 0) 操作後 residual at-1 = 0 條件：無 以左邊減右邊定義殘差。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 residual at-1=0 操作後 point equation match=是 條件：無 此旗標只回答目前這個網格點。 步驟識別與依賴規則：point_equation_check · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 y at0 ascending coefficients=[-10, -1, 0] 操作後 evaluate at x=0 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 y at0 Horner multiply before degree0 := mul(-1, 0) 操作後 y at0 Horner multiply before degree0 = 0 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 y at0 Horner add degree0 := sum(0, -10) 操作後 y at0 Horner add degree0 = -10 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 y′ at0 ascending coefficients=[-1, 0] 操作後 evaluate at x=0 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 y″ at0 ascending coefficients=[0] 操作後 evaluate at x=0 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 a·y″ at0 := mul(1, 0) 操作後 a·y″ at0 = 0 條件：無 各導數乘其自己的方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 b·y′ at0 := mul(0, -1) 操作後 b·y′ at0 = 0 條件：無 各導數乘其自己的方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 c·y at0 := mul(0, -10) 操作後 c·y at0 = 0 條件：無 各導數乘其自己的方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 left side at0 := sum(0, 0, 0) 操作後 left side at0 = 0 條件：無 先加總完整方程左邊。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 residual at0 := sub(0, 0) 操作後 residual at0 = 0 條件：無 以左邊減右邊定義殘差。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 residual at0=0 操作後 point equation match=是 條件：無 此旗標只回答目前這個網格點。 步驟識別與依賴規則：point_equation_check · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 y at1 ascending coefficients=[-10, -1, 0] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 y at1 Horner multiply before degree0 := mul(-1, 1) 操作後 y at1 Horner multiply before degree0 = -1 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 y at1 Horner add degree0 := sum(-1, -10) 操作後 y at1 Horner add degree0 = -11 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 y′ at1 ascending coefficients=[-1, 0] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 y″ at1 ascending coefficients=[0] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 a·y″ at1 := mul(1, 0) 操作後 a·y″ at1 = 0 條件：無 各導數乘其自己的方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 b·y′ at1 := mul(0, -1) 操作後 b·y′ at1 = 0 條件：無 各導數乘其自己的方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 c·y at1 := mul(0, -11) 操作後 c·y at1 = 0 條件：無 各導數乘其自己的方程係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 left side at1 := sum(0, 0, 0) 操作後 left side at1 = 0 條件：無 先加總完整方程左邊。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 residual at1 := sub(0, 0) 操作後 residual at1 = 0 條件：無 以左邊減右邊定義殘差。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 residual at1=0 操作後 point equation match=是 條件：無 此旗標只回答目前這個網格點。 步驟識別與依賴規則：point_equation_check · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 all listed grid points pass=是; initial conditions pass=是 操作後 combined finite check=是 條件：無 題目要求的網格與初始條件都通過才算本有限檢查通過，不能少核一點或一個初始條件。 步驟識別與依賴規則：finite_grid_initial_conjunction · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 finite grid agreement alone is not a general interval certificate 操作後 a polynomial coefficient/degree certificate is a separate possible strengthening 條件：無 對這些多項式，另用全係數恆等或已證次數界與足夠不同點可補強；本輸出旗標只記有限檢查，不否定那種額外證法。 步驟識別與依賴規則：grid_vs_interval_scope · 依賴：G001, S045 ## 逐步反向核對 - S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at1，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left side at1，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 c·y at1，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b·y′ at1，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″ at1，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at1 Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at1 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at0，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left side at0，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 c·y at0，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b·y′ at0，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″ at0，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at0 Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at0 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at-1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left side at-1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 c·y at-1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b·y′ at-1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″ at-1，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at-1 Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at-1 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ coefficient at degree0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([-10, -1, 0], 1, 0, 0, 0, [-1, 0, 1], [[-1, -9, -1, 0, 0, 是], [0, -10, -1, 0, 0, 是], [1, -11, -1, 0, 0, 是]], 0, -10, -1, -10, -1, 是, 是, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 508eed1213d43f1c678f205e44fb5c1f8303f933c357b7dbf77946b32cdaf02b - candidate record SHA-256: 5054a26b35a33ecceb01eccb8a785dd0243412b30dbeb90cb1da0e637cdd22f9 - semantic review receipt SHA-256: 5dbc70ebd5f74b23384c93b63a2b1d6519e206c79f22ae16a6c2d7483cea783f - question-first witness SHA-256: cf121c8dd2fec13aa118b04b049ee39494f1d6d9ecdc13514cafb78c0fc021fa - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261021-r04-initial-value-problem-0078.json)