# 第 2334 題：離散logistic增量

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0003-02334 · q-20261013-advance-20261021-r07-discrete-logistic-growth-0084



## 原題與已知條件

固定離散增量模型與0≤r≤1、0≤x≤K。操作=logistic-equilibrium-audit；資料={"candidate":[1,1],"rate":[1,1],"capacity":[13,1]}。請依 [candidate,rate,capacity,next,fixed] 欄序回答。


- G001 — 固定離散增量模型與0≤r≤1、0≤x≤K。操作=logistic-equilibrium-audit；資料={"candidate":[1,1],"rate":[1,1],"capacity":[13,1]}。請依 [candidate,rate,capacity,next,fixed] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-discrete-logistic-growth](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-discrete-logistic-growth/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

0≤r=1≤1; K=13>0; 0≤x=1≤K

操作後

T(x)=x+r·x·(1−x/K)

條件：無

這是原值加增量的固定模型，不是另一種直接乘型r·x·(1−x/K)。

步驟識別與依賴規則：logistic_increment_model · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

x/K at step1 := div(1, 13)

操作後

x/K at step1 = 1/13

條件：無

容量K為正，因此可求標準化狀態。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

1−x/K at step1 := sub(1, 1/13)

操作後

1−x/K at step1 = 12/13

條件：無

此回饋因子在宣告區間中非負。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

x(1−x/K) at step1 := mul(1, 12/13)

操作後

x(1−x/K) at step1 = 12/13

條件：無

先乘當前狀態與剩餘比例。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

increment at step1 := mul(1, 12/13)

操作後

increment at step1 = 12/13

條件：無

再乘增量率r。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

next state at step1 := sum(1, 12/13)

操作後

next state at step1 = 25/13

條件：無

必須把原本x加回，不能漏掉加號。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

T(x)−x=r·x·(1−x/K)≥0; K−T(x)=(K−x)(1−r·x/K)≥0

操作後

0≤25/13≤13

條件：無

兩個因子不等式由0≤r≤1與0≤x≤K推出，證明此模型保持區間，不只靠幾個樣本點猜測。

步驟識別與依賴規則：qualified_interval_preservation · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

T(candidate)=25/13; candidate=1

操作後

fixed=否

條件：無

固定點要求更新前後相等，不能只問更新後仍在區間。

步驟識別與依賴規則：equilibrium_definition · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

T(x)−x=r·x·(1−x/K)

操作後

r=0:every allowed x is fixed; r>0:fixed points are0 andK

條件：無

只有在r>0時才可約掉r；r=0是所有點固定的退化分支。

步驟識別與依賴規則：zero_rate_equilibria · 依賴：G001, S008









## 逐步反向核對


- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 next state at step1，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 increment at step1，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x(1−x/K) at step1，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 1−x/K at step1，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x/K at step1，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(1, 1, 13, 25/13, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: afa8a0e96404f3972d01ed3c9c25462ce8d463162f55122c59b85f89101cd4bf
- candidate record SHA-256: b5cc11869909b857440eda8dc221fede5d616cabc3b6294373cc6fabc923fcc4
- semantic review receipt SHA-256: 5dbc70ebd5f74b23384c93b63a2b1d6519e206c79f22ae16a6c2d7483cea783f
- question-first witness SHA-256: cf121c8dd2fec13aa118b04b049ee39494f1d6d9ecdc13514cafb78c0fc021fa
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261021-r07-discrete-logistic-growth-0084.json)