# 第 29485 題：簡諧振子精確切片 [返回所在分頁 148](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/148/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261022-r01-harmonic-oscillator-model-foundations/#q-20261013-advance-20261022-r01-harmonic-oscillator-model-0060) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0057-29485 · q-20261013-advance-20261022-r01-harmonic-oscillator-model-0060 ## 原題與已知條件 無阻尼線性振子模型m x_second+k x=0。操作=oscillator-polynomial-residual；資料={"coefficients":[-3,2,1],"mass":[2,1],"spring":[4,1],"x":2}。請依 [coefficients,x,position,acceleration,mass,spring,residual,zero_at_x] 欄序回答。 - G001 — 無阻尼線性振子模型m x_second+k x=0。操作=oscillator-polynomial-residual；資料={"coefficients":[-3,2,1],"mass":[2,1],"spring":[4,1],"x":2}。請依 [coefficients,x,position,acceleration,mass,spring,residual,zero_at_x] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-harmonic-oscillator-model](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-harmonic-oscillator-model/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-str22-oscillator-polynomial-residual, oscillator-polynomial-residual] 操作後 derived = [[coefficients, x, position, acceleration, mass, spring, residual, zero_at_x]] 條件：無 此銀行依原tuple欄序與hyphen operation。fraction約分、正分母且整數省略/1，與前輪舊契約不同；不改原中英快照或題意。 步驟識別與依賴規則：STR22_exact_interface_and_source_ORDERED_tuple_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [Oscillator mass, [2, 1]] 操作後 derived = [2, 2, 1] 條件：無 原rational必須二元pair且raw分子／分母各在±1e6、分母非0。先正分母與gcd約分；不能接受scalar或先約分再繞過raw輸入界。 步驟識別與依賴規則：STR22_RAW_rational_PAIR_profile_and_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [Oscillator spring, [4, 1]] 操作後 derived = [4, 4, 1] 條件：無 原rational必須二元pair且raw分子／分母各在±1e6、分母非0。先正分母與gcd約分；不能接受scalar或先約分再繞過raw輸入界。 步驟識別與依賴規則：STR22_RAW_rational_PAIR_profile_and_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [2, 4] 操作後 derived = [[是, 是], 是] 條件：無 無阻尼線性振子m*x_second+k*x=0先要求m,k皆嚴格正；qualification可有0／負值作No，不先abs或替換。 步驟識別與依賴規則：Oscillator_BOTH_strict_model_qualifications_not_repaired · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient0 := mul(2, 1) 操作後 Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient0 = 2 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient1 := mul(1, 2) 操作後 Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient1 = 2 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL second derivative coefficient0 := mul(2, 1) 操作後 Oscillator ORIGINAL second derivative coefficient0 = 2 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [[-3, 2, 1]] 操作後 derived = [[2, 2], [2]] 條件：無 按升冪對每一項用d(c_i*x^i)=i*c_i*x^(i-1)兩次。保原coeff vector與trailing zeros；空derivative vector為零，不加constant/nonconstant限制或derived係數1000界。 步驟識別與依賴規則：Oscillator_WHOLE_polynomial_differentiate_TWICE_ALL_coefficients · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree2 := mul(0, 2) 操作後 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree2 = 0 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree2 := sum(0, 1) 操作後 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree2 = 1 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree1 := mul(1, 2) 操作後 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree1 = 2 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree1 := sum(2, 2) 操作後 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree1 = 4 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree0 := mul(4, 2) 操作後 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree0 = 8 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree0 := sum(8, -3) 操作後 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree0 = 5 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL acceleration Horner multiply degree0 := mul(0, 2) 操作後 Oscillator ORIGINAL acceleration Horner multiply degree0 = 0 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL acceleration Horner add degree0 := sum(0, 2) 操作後 Oscillator ORIGINAL acceleration Horner add degree0 = 2 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [[-3, 2, 1], [2], 2] 操作後 derived = [[5, 2]] 條件：無 同一指定x對原polynomial及二階導數完整Horner；整數evaluate本身無1e6 cap，後續原rational乘加才按來源profile。 步驟識別與依賴規則：Oscillator_ORIGINAL_Horner_position_AND_acceleration_at_SAMEpoint · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL mass times acceleration := mul(2, 2) 操作後 Oscillator ORIGINAL mass times acceleration = 4 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [Oscillator ORIGINAL mass times acceleration, mul, [2, 2]] 操作後 derived = [[1, 1], [4, 1], 4] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL spring times position := mul(4, 5) 操作後 Oscillator ORIGINAL spring times position = 20 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [Oscillator ORIGINAL spring times position, mul, [4, 5]] 操作後 derived = [[1, 1], [20, 1], 20] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Oscillator ORIGINAL signed ODE residual := sum(4, 20) 操作後 Oscillator ORIGINAL signed ODE residual = 24 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [Oscillator ORIGINAL signed ODE residual, sum, [4, 20]] 操作後 derived = [[1], [24, 1], 24] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [[-3, 2, 1], 2, 2, 4] 操作後 derived = [5, 2, 24, 否] 條件：無 回代R(x)=m*p_second(x)+k*p(x)，保signed residual。R(x)=0只在本指定點吻合，非對整個interval的ODE solution，更不證stability。 步驟識別與依賴規則：Oscillator_SINGLE_point_residual_zero_NOT_interval_solution · 依賴：G001, S023 ## 逐步反向核對 - S024 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S023 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL signed ODE residual，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL spring times position，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL mass times acceleration，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL acceleration Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL acceleration Horner multiply degree0，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree2，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL second derivative coefficient0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S003 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S002 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S001 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 ## 結論 ([-3, 2, 1], 2, 5, 2, 2, 4, 24, 否) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 895950c5b531c9474ae418f9c4f49bf10792f17034d95ebffc846cf84a4b3501 - candidate record SHA-256: 2ddb54191d1b4d87323965b6777dfa3b12293b850577565c3b4162dc9a50017a - semantic review receipt SHA-256: db445bb0caa8a249fcf78eadd2550b49b820e279cc80b2327f0d757d3ae920b6 - question-first witness SHA-256: 58d12a50ea9943c50b65927607347101b1ddaf692d62e091f2cae8a9f0362eb5 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261022-r01-harmonic-oscillator-model-0060.json)