# 第 29506 題：固定因子現值 [返回所在分頁 148](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/148/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261022-r02-present-value-discounting-foundations/#q-20261013-advance-20261022-r02-present-value-discounting-0081) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0058-29506 · q-20261013-advance-20261022-r02-present-value-discounting-0081 ## 原題與已知條件 固定期率、固定期數且無現金流。操作=presentvalue-candidate-audit；資料={"future":[115,3],"rate":[-1,10],"periods":2,"candidate":[11500,243]}。請依 [future,rate,periods,present,candidate,matches] 欄序回答。 - G001 — 固定期率、固定期數且無現金流。操作=presentvalue-candidate-audit；資料={"future":[115,3],"rate":[-1,10],"periods":2,"candidate":[11500,243]}。請依 [future,rate,periods,present,candidate,matches] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-present-value-discounting](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-present-value-discounting/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-str22-presentvalue-candidate-audit, presentvalue-candidate-audit] 操作後 derived = [[future, rate, periods, present, candidate, matches]] 條件：無 依本題銀行的keys、domain或frame、operation與輸出角色。STR22/App20 tuple與legacy scalar不同；分數是否保/1按原契約，不能用共同外觀改題。 步驟識別與依賴規則：R58_EXACT_source_interface_and_answer_ROLE · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [Present value rate, [-1, 10]] 操作後 derived = [-1/10] 條件：無 原pair兩component各<=1e6且den非0，之後正分母約分；不先約分繞raw界。這個STR22 profile不可移到SAFE BigInt舊題。 步驟識別與依賴規則：STR22_input_RAW_pair1e6_before_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Present value ORIGINAL positive accumulation factor := sum(1, -1/10) 操作後 Present value ORIGINAL positive accumulation factor = 9/10 條件：無 精確代值並保原操作數；額外教學運算不重套raw輸入界，只有明定的來源rational operation驗自己的profile。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Present value ORIGINAL positive accumulation factor, sum, [1, -1/10]] 操作後 derived = [[1], [9, 10], 9/10] 條件：無 來源加法先分母gcd，乘法先cross-cancel；驗所得raw分子／分母各1e6後才最終約分。除法先驗reciprocal非零。沒有把本銀行改成其他bank的profile，也不放寬hold。 步驟識別與依賴規則：STR22_SOURCE_gcd_crosscancel_THEN_raw1e6_BEFORE_final_reduction · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [-1/10, 9/10] 操作後 derived = [是] 條件：無 模型只用同一固定每期rate、同一期別、無cashflows/費稅/rounding。1+rate>0才可compound/discount；rate可負，這不是市場預測或投資建議。 步驟識別與依賴規則：Present_value_FIXED_model_same_rate_period_NOcashflows · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [9/10, 2] 操作後 derived = [1, 9/10, 2, out*base^exp=factor^n] 條件：無 以out=1、base=factor、exp=n維持out*base^exp=factor^n。n=0直接空積1，但原factor資格仍要驗。 步驟識別與依賴規則：Present_value_BINARY_power_initial_emptyproduct_invariant · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Present value ORIGINAL binary necessary square0 := mul(9/10, 9/10) 操作後 Present value ORIGINAL binary necessary square0 = 81/100 條件：無 精確代值並保原操作數；額外教學運算不重套raw輸入界，只有明定的來源rational operation驗自己的profile。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [Present value ORIGINAL binary necessary square0, mul, [9/10, 9/10]] 操作後 derived = [[1, 1], [81, 100], 81/100] 條件：無 來源加法先分母gcd，乘法先cross-cancel；驗所得raw分子／分母各1e6後才最終約分。除法先驗reciprocal非零。沒有把本銀行改成其他bank的profile，也不放寬hold。 步驟識別與依賴規則：STR22_SOURCE_gcd_crosscancel_THEN_raw1e6_BEFORE_final_reduction · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [9/10, 2, 0, [1, 9/10, 2]] 操作後 derived = [否, 1, 81/100, 1, 是] 條件：無 把old exp=2q+r拆開，若r=1先乘base，再只在q>0時square base。這維持同一精確冪，不做最後不用的square（可能另觸source hold）；不能改線性乘法序列而縮domain。 步驟識別與依賴規則：Present_value_EACH_binary_exponent_step_no_unused_final_square · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Present value ORIGINAL binary odd multiply1 := mul(1, 81/100) 操作後 Present value ORIGINAL binary odd multiply1 = 81/100 條件：無 精確代值並保原操作數；額外教學運算不重套raw輸入界，只有明定的來源rational operation驗自己的profile。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Present value ORIGINAL binary odd multiply1, mul, [1, 81/100]] 操作後 derived = [[1, 1], [81, 100], 81/100] 條件：無 來源加法先分母gcd，乘法先cross-cancel；驗所得raw分子／分母各1e6後才最終約分。除法先驗reciprocal非零。沒有把本銀行改成其他bank的profile，也不放寬hold。 步驟識別與依賴規則：STR22_SOURCE_gcd_crosscancel_THEN_raw1e6_BEFORE_final_reduction · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [9/10, 2, 1, [1, 81/100, 1]] 操作後 derived = [是, 81/100, 81/100, 0, 是] 條件：無 把old exp=2q+r拆開，若r=1先乘base，再只在q>0時square base。這維持同一精確冪，不做最後不用的square（可能另觸source hold）；不能改線性乘法序列而縮domain。 步驟識別與依賴規則：Present_value_EACH_binary_exponent_step_no_unused_final_square · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [Present value future, [115, 3]] 操作後 derived = [115/3] 條件：無 原pair兩component各<=1e6且den非0，之後正分母約分；不先約分繞raw界。這個STR22 profile不可移到SAFE BigInt舊題。 步驟識別與依賴規則：STR22_input_RAW_pair1e6_before_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Present value ORIGINAL future over actual binary accumulation := div(115/3, 81/100) 操作後 Present value ORIGINAL future over actual binary accumulation = 11500/243 條件：無 精確代值並保原操作數；額外教學運算不重套raw輸入界，只有明定的來源rational operation驗自己的profile。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [Present value ORIGINAL future over actual binary accumulation, div, [115/3, 81/100]] 操作後 derived = [[1, 1], [11500, 243], 11500/243] 條件：無 來源加法先分母gcd，乘法先cross-cancel；驗所得raw分子／分母各1e6後才最終約分。除法先驗reciprocal非零。沒有把本銀行改成其他bank的profile，也不放寬hold。 步驟識別與依賴規則：STR22_SOURCE_gcd_crosscancel_THEN_raw1e6_BEFORE_final_reduction · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [115/3, -1/10, 2, 81/100] 操作後 derived = [11500/243] 條件：無 n次同一factor相乘才是acc，future除正acc得present；n=0保持原amount。給定模型沒有另加未提供的現金流或費用。 步驟識別與依賴規則：Present_value_Nperiod_exact_discount_NOT_unlisted_adjustments · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [Present value candidate, [11500, 243]] 操作後 derived = [11500/243] 條件：無 原pair兩component各<=1e6且den非0，之後正分母約分；不先約分繞raw界。這個STR22 profile不可移到SAFE BigInt舊題。 步驟識別與依賴規則：STR22_input_RAW_pair1e6_before_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [11500/243, 11500/243] 操作後 derived = [是] 條件：無 比較約分後同一rational值，不比較原pair字樣，也不因不吻合而改future／rate／period。 步驟識別與依賴規則：Present_value_candidate_NORMALIZED_exact_equality · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S017 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S015 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Present value ORIGINAL future over actual binary accumulation，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S012 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Present value ORIGINAL binary odd multiply1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Present value ORIGINAL binary necessary square0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Present value ORIGINAL positive accumulation factor，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原題資料、同一索引／方向／代表式與本步前提；不只核答案。精確候選核對、獨立審查、形式證明與發布資格仍分開。 ## 結論 (115/3, -1/10, 2, 11500/243, 11500/243, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e6c6adb9beb789e1a4b889ddda872e7a6b8836ac77c742081fcf2203b4d44cd2 - candidate record SHA-256: 2989040f8e97f8fdf21cdca000402e5c606e3e8fc39a93a373144c386d859989 - semantic review receipt SHA-256: 66bbb31c5fe644576dfd47ac71ca9e367fc23b948eac8e3eb648d96dadea05df - question-first witness SHA-256: b1e4fbdbca8d0ac3581e2f26466374d870f3c8498fab7cf6873feca5bbec44e7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261022-r02-present-value-discounting-0081.json)