# 第 29045 題：複數有序對運算 [返回所在分頁 146](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/146/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261022-r03-complex-number-foundations/#q-20261013-advance-20261022-r03-complex-number-0070) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0057-29045 · q-20261013-advance-20261022-r03-complex-number-0070 ## 原題與已知條件 複數以整數有序對表示。操作=complex-multiplication；資料={"left":[7,2],"right":[2,29]}。請依 [left,right,result] 欄序回答。 - G001 — 複數以整數有序對表示。操作=complex-multiplication；資料={"left":[7,2],"right":[2,29]}。請依 [left,right,result] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-complex-number](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complex-number/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-str22-complex-multiplication, complex-multiplication] 操作後 derived = [[left, right, result]] 條件：無 此銀行依原tuple欄序與hyphen operation。fraction約分、正分母且整數省略/1，與前輪舊契約不同；不改原中英快照或題意。 步驟識別與依賴規則：STR22_exact_interface_and_source_ORDERED_tuple_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Complex ORIGINAL real-real product := mul(7, 2) 操作後 Complex ORIGINAL real-real product = 14 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Complex ORIGINAL imaginary-imaginary product := mul(2, 29) 操作後 Complex ORIGINAL imaginary-imaginary product = 58 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Complex ORIGINAL real-imaginary product := mul(7, 29) 操作後 Complex ORIGINAL real-imaginary product = 203 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Complex ORIGINAL imaginary-real product := mul(2, 2) 操作後 Complex ORIGINAL imaginary-real product = 4 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Complex ORIGINAL real part ac minus bd := sub(14, 58) 操作後 Complex ORIGINAL real part ac minus bd = -44 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Complex ORIGINAL imaginary coefficient ad plus bc := sum(203, 4) 操作後 Complex ORIGINAL imaginary coefficient ad plus bc = 207 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [[7, 2], [2, 29]] 操作後 derived = [14, 58, 203, 4, [-44, 207]] 條件：無 完整分配得ac+(ad+bc)i+bd*i²，代i²=-1得(ac-bd,ad+bc)。derived可超raw1000或default1e6，無新cap；不是逐coordinate相乘。 步驟識別與依賴規則：Complex_distribute_i_squared_MINUSone_not_Hadamard · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Complex ORIGINAL imaginary coefficient ad plus bc，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Complex ORIGINAL real part ac minus bd，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Complex ORIGINAL imaginary-real product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Complex ORIGINAL real-imaginary product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Complex ORIGINAL imaginary-imaginary product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Complex ORIGINAL real-real product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 ## 結論 ([7, 2], [2, 29], [-44, 207]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e622d98d0ff29eada37b83316155d040ab7a31c1f205ffd74a0e82d3ccffba5f - candidate record SHA-256: 5526c606b478919ddd6cbad6fe08fb2f7cb0d0e00f1977a5c527ee594da8cab8 - semantic review receipt SHA-256: db445bb0caa8a249fcf78eadd2550b49b820e279cc80b2327f0d757d3ae920b6 - question-first witness SHA-256: 58d12a50ea9943c50b65927607347101b1ddaf692d62e091f2cae8a9f0362eb5 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261022-r03-complex-number-0070.json)