# 第 29138 題：有限離散PMF [返回所在分頁 146](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/146/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261022-r07-finite-discrete-probability-distribution-foundations/#q-20261013-advance-20261022-r07-finite-discrete-probability-distribution-0063) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0057-29138 · q-20261013-advance-20261022-r07-finite-discrete-probability-distribution-0063 ## 原題與已知條件 有限離散精確PMF。操作=distribution-expectation；資料={"outcomes":[12,13,15],"masses":[[1,4],[1,4],[1,2]]}。請依 [outcomes,masses,expectation] 欄序回答。 - G001 — 有限離散精確PMF。操作=distribution-expectation；資料={"outcomes":[12,13,15],"masses":[[1,4],[1,4],[1,2]]}。請依 [outcomes,masses,expectation] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-discrete-probability-distribution](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-discrete-probability-distribution/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-str22-distribution-expectation, distribution-expectation] 操作後 derived = [[outcomes, masses, expectation]] 條件：無 此銀行依原tuple欄序與hyphen operation。fraction約分、正分母且整數省略/1，與前輪舊契約不同；不改原中英快照或題意。 步驟識別與依賴規則：STR22_exact_interface_and_source_ORDERED_tuple_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [PMF raw mass slot0, [1, 4]] 操作後 derived = [1/4, 1, 4] 條件：無 原rational必須二元pair且raw分子／分母各在±1e6、分母非0。先正分母與gcd約分；不能接受scalar或先約分再繞過raw輸入界。 步驟識別與依賴規則：STR22_RAW_rational_PAIR_profile_and_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [PMF raw mass slot1, [1, 4]] 操作後 derived = [1/4, 1, 4] 條件：無 原rational必須二元pair且raw分子／分母各在±1e6、分母非0。先正分母與gcd約分；不能接受scalar或先約分再繞過raw輸入界。 步驟識別與依賴規則：STR22_RAW_rational_PAIR_profile_and_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [PMF raw mass slot2, [1, 2]] 操作後 derived = [1/2, 1, 2] 條件：無 原rational必須二元pair且raw分子／分母各在±1e6、分母非0。先正分母與gcd約分；不能接受scalar或先約分再繞過raw輸入界。 步驟識別與依賴規則：STR22_RAW_rational_PAIR_profile_and_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 PMF ORIGINAL normalization running sum0 := sum(0, 1/4) 操作後 PMF ORIGINAL normalization running sum0 = 1/4 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [PMF ORIGINAL normalization running sum0, sum, [0, 1/4]] 操作後 derived = [[1], [1, 4], 1/4] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 PMF ORIGINAL normalization running sum1 := sum(1/4, 1/4) 操作後 PMF ORIGINAL normalization running sum1 = 1/2 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [PMF ORIGINAL normalization running sum1, sum, [1/4, 1/4]] 操作後 derived = [[4], [2, 4], 1/2] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 PMF ORIGINAL normalization running sum2 := sum(1/2, 1/2) 操作後 PMF ORIGINAL normalization running sum2 = 1 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [PMF ORIGINAL normalization running sum2, sum, [1/2, 1/2]] 操作後 derived = [[2], [2, 2], 1] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [[12, 13, 15], [1/4, 1/4, 1/2]] 操作後 derived = [[[12, 1/4], [13, 1/4], [15, 1/2]], 是, 1, 是, 是] 條件：無 保原outcomes與mass逐slot配對，逐原順序求完整和。非負與總和1是分開責任；qualification可合法No，不重新normalize或把負值clip0。 步驟識別與依賴規則：PMF_ALL_original_outcome_mass_alignment_NONNEG_AND_EXACTsum1 · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 PMF ORIGINAL value times mass slot0 := mul(12, 1/4) 操作後 PMF ORIGINAL value times mass slot0 = 3 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [PMF ORIGINAL value times mass slot0, mul, [12, 1/4]] 操作後 derived = [[4, 1], [3, 1], 3] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 PMF ORIGINAL expectation running sum0 := sum(0, 3) 操作後 PMF ORIGINAL expectation running sum0 = 3 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [PMF ORIGINAL expectation running sum0, sum, [0, 3]] 操作後 derived = [[1], [3, 1], 3] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 PMF ORIGINAL value times mass slot1 := mul(13, 1/4) 操作後 PMF ORIGINAL value times mass slot1 = 13/4 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [PMF ORIGINAL value times mass slot1, mul, [13, 1/4]] 操作後 derived = [[1, 1], [13, 4], 13/4] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 PMF ORIGINAL expectation running sum1 := sum(3, 13/4) 操作後 PMF ORIGINAL expectation running sum1 = 25/4 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [PMF ORIGINAL expectation running sum1, sum, [3, 13/4]] 操作後 derived = [[1], [25, 4], 25/4] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 PMF ORIGINAL value times mass slot2 := mul(15, 1/2) 操作後 PMF ORIGINAL value times mass slot2 = 15/2 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [PMF ORIGINAL value times mass slot2, mul, [15, 1/2]] 操作後 derived = [[1, 1], [15, 2], 15/2] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 PMF ORIGINAL expectation running sum2 := sum(25/4, 15/2) 操作後 PMF ORIGINAL expectation running sum2 = 55/4 條件：無 精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [PMF ORIGINAL expectation running sum2, sum, [25/4, 15/2]] 操作後 derived = [[2], [55, 4], 55/4] 條件：無 來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。 步驟識別與依賴規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [[12, 13, 15], [1/4, 1/4, 1/2]] 操作後 derived = [55/4] 條件：無 E[Y]=sum y_i*p_i，完整用所有原配對，負outcome和負mean合法。這是給定數學分布的期望，不是empirical fit或母體驗證。 步驟識別與依賴規則：PMF_expected_value_COMPLETE_signed_weighted_sum · 依賴：G001, S023 ## 逐步反向核對 - S024 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S023 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL expectation running sum2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL value times mass slot2，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL expectation running sum1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL value times mass slot1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL expectation running sum0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL value times mass slot0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S010 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL normalization running sum2，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL normalization running sum1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL normalization running sum0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S003 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S002 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 - S001 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。 ## 結論 ([12, 13, 15], [1/4, 1/4, 1/2], 55/4) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 6ca15665346b59740a8771da500ca493ab1a077de3241cb43c6f2c63f52ed337 - candidate record SHA-256: f043e28cae271e4c48a081bf210866ec912b8f579694f96a6f9ed174de26a143 - semantic review receipt SHA-256: db445bb0caa8a249fcf78eadd2550b49b820e279cc80b2327f0d757d3ae920b6 - question-first witness SHA-256: 58d12a50ea9943c50b65927607347101b1ddaf692d62e091f2cae8a9f0362eb5 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261022-r07-finite-discrete-probability-distribution-0063.json)