# 第 10376 題：複數模與共軛 [返回所在分頁 52](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/52/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261023-r01-complex-modulus-conjugate-foundations/#q-20261013-advance-20261023-r01-complex-modulus-conjugate-0051) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0019-10376 · q-20261013-advance-20261023-r01-complex-modulus-conjugate-0051 ## 原題與已知條件 複數以整數有序對表示。操作=complexmod-product-conjugate；資料={"value":[-12,-3]}。請依 [value,conjugate,product,modulus_square] 欄序回答。 - G001 — 複數以整數有序對表示。操作=complexmod-product-conjugate；資料={"value":[-12,-3]}。請依 [value,conjugate,product,modulus_square] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-complex-modulus-conjugate](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complex-modulus-conjugate/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 declared complex ordered pair=[-12, -3] 操作後 exact integer coefficients in the algebra with i^2=-1 條件：無 只依明示複數代數運算，不當成實向量逐項乘法；零複數也合法，未要求非零。 步驟識別與依賴規則：exact_complex_pair_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 given value negate imaginary coefficient := sub(0, -3) 操作後 given value negate imaginary coefficient = 3 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 given value:original ordered pair=[-12, -3] 操作後 conjugate pair=[-12, 3] 條件：無 (a,b)表示a+bi；共軛保留實部，僅把虛係數b改成−b，不交換座標。 步驟識別與依賴規則：complex_conjugate_real_fixed_imaginary_negated · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 value times conjugate real-real := mul(-12, -12) 操作後 value times conjugate real-real = 144 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 value times conjugate imaginary-imaginary := mul(-3, 3) 操作後 value times conjugate imaginary-imaginary = -9 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 value times conjugate real coefficient := sub(144, -9) 操作後 value times conjugate real coefficient = 153 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 value times conjugate real-imaginary := mul(-12, 3) 操作後 value times conjugate real-imaginary = -36 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 value times conjugate imaginary-real := mul(-3, -12) 操作後 value times conjugate imaginary-real = 36 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 value times conjugate imaginary coefficient := sum(-36, 36) 操作後 value times conjugate imaginary coefficient = 0 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 value times conjugate:left=[-12, -3];right=[-12, 3];i^2=-1 操作後 complex product=[153, 0] 條件：無 展開(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，四個乘積各保留其來源位置與符號。 步驟識別與依賴規則：complex_product_ordered_component_expansion · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 real coefficient squared := mul(-12, -12) 操作後 real coefficient squared = 144 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 imaginary coefficient squared := mul(-3, -3) 操作後 imaginary coefficient squared = 9 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 exact squared modulus := sum(144, 9) 操作後 exact squared modulus = 153 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 value=[-12, -3];real square=144;imaginary square=9 操作後 modulus squared=153 條件：無 本題要|z|²=a²+b²，不是|z|；不擅自改成根式、近似值或負平方根。 步驟識別與依賴規則：modulus_squared_not_unrequested_square_root · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 computed product=[153, 0];squared modulus=153 操作後 product is real embedding [modulus squared,0] 條件：無 實際乘法的虛部抵消為0，實部等於兩平方和；不是直接把未算出的乘積填成預期答案。 步驟識別與依賴規則：complex_times_conjugate_imaginary_cancellation · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 exact squared modulus，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 imaginary coefficient squared，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real coefficient squared，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate imaginary coefficient，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate imaginary-real，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate real-imaginary，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate real coefficient，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate imaginary-imaginary，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate real-real，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 given value negate imaginary coefficient，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([-12, -3], [-12, 3], [153, 0], 153) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4cb37f98fb34813ca391d1afbf6b71953d5bda78c49258f6024a6ee743354a49 - candidate record SHA-256: 6b120c53c92637785fc6e101fcf4e8d51a88d0c64b98dfd6a1ff7acfef3e5120 - semantic review receipt SHA-256: eeb35dc5daab92234bf72827627392b47f38ead4cfb574d4373bebc43c09fbf5 - question-first witness SHA-256: 3cf8e0d3a00b0df1994db2bfde81f4a31b382e170bdda83ea3d0b68da64e8419 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261023-r01-complex-modulus-conjugate-0051.json)