# 第 10345 題：複數模與共軛 [返回所在分頁 52](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/52/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261023-r01-complex-modulus-conjugate-foundations/#q-20261013-advance-20261023-r01-complex-modulus-conjugate-0095) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0019-10345 · q-20261013-advance-20261023-r01-complex-modulus-conjugate-0095 ## 原題與已知條件 複數以整數有序對表示。操作=complexmod-conjugation-product；資料={"left":[7,2],"right":[2,29]}。請依 [left,right,product,conjugate_product,product_of_conjugates,equal] 欄序回答。 - G001 — 複數以整數有序對表示。操作=complexmod-conjugation-product；資料={"left":[7,2],"right":[2,29]}。請依 [left,right,product,conjugate_product,product_of_conjugates,equal] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-complex-modulus-conjugate](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complex-modulus-conjugate/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 declared complex ordered pair=[7, 2] 操作後 exact integer coefficients in the algebra with i^2=-1 條件：無 只依明示複數代數運算，不當成實向量逐項乘法；零複數也合法，未要求非零。 步驟識別與依賴規則：exact_complex_pair_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 original product real-real := mul(7, 2) 操作後 original product real-real = 14 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 original product imaginary-imaginary := mul(2, 29) 操作後 original product imaginary-imaginary = 58 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 original product real coefficient := sub(14, 58) 操作後 original product real coefficient = -44 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 original product real-imaginary := mul(7, 29) 操作後 original product real-imaginary = 203 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 original product imaginary-real := mul(2, 2) 操作後 original product imaginary-real = 4 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 original product imaginary coefficient := sum(203, 4) 操作後 original product imaginary coefficient = 207 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 original product:left=[7, 2];right=[2, 29];i^2=-1 操作後 complex product=[-44, 207] 條件：無 展開(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，四個乘積各保留其來源位置與符號。 步驟識別與依賴規則：complex_product_ordered_component_expansion · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 original product negate imaginary coefficient := sub(0, 207) 操作後 original product negate imaginary coefficient = -207 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 original product:original ordered pair=[-44, 207] 操作後 conjugate pair=[-44, -207] 條件：無 (a,b)表示a+bi；共軛保留實部，僅把虛係數b改成−b，不交換座標。 步驟識別與依賴規則：complex_conjugate_real_fixed_imaginary_negated · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 left value negate imaginary coefficient := sub(0, 2) 操作後 left value negate imaginary coefficient = -2 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 left value:original ordered pair=[7, 2] 操作後 conjugate pair=[7, -2] 條件：無 (a,b)表示a+bi；共軛保留實部，僅把虛係數b改成−b，不交換座標。 步驟識別與依賴規則：complex_conjugate_real_fixed_imaginary_negated · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 right value negate imaginary coefficient := sub(0, 29) 操作後 right value negate imaginary coefficient = -29 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 right value:original ordered pair=[2, 29] 操作後 conjugate pair=[2, -29] 條件：無 (a,b)表示a+bi；共軛保留實部，僅把虛係數b改成−b，不交換座標。 步驟識別與依賴規則：complex_conjugate_real_fixed_imaginary_negated · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 product of conjugates real-real := mul(7, 2) 操作後 product of conjugates real-real = 14 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 product of conjugates imaginary-imaginary := mul(-2, -29) 操作後 product of conjugates imaginary-imaginary = 58 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 product of conjugates real coefficient := sub(14, 58) 操作後 product of conjugates real coefficient = -44 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 product of conjugates real-imaginary := mul(7, -29) 操作後 product of conjugates real-imaginary = -203 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 product of conjugates imaginary-real := mul(-2, 2) 操作後 product of conjugates imaginary-real = -4 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 product of conjugates imaginary coefficient := sum(-203, -4) 操作後 product of conjugates imaginary coefficient = -207 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 product of conjugates:left=[7, -2];right=[2, -29];i^2=-1 操作後 complex product=[-44, -207] 條件：無 展開(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，四個乘積各保留其來源位置與符號。 步驟識別與依賴規則：complex_product_ordered_component_expansion · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 conjugate of computed product=[-44, -207];computed product of conjugates=[-44, -207] 操作後 equal=是 條件：無 兩路各自完整展開，保留原left/right次序與每個中間對；這些精確代值不宣稱新增一般形式證據。 步驟識別與依賴規則：conjugation_product_two_routes · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of conjugates imaginary coefficient，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of conjugates imaginary-real，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of conjugates real-imaginary，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of conjugates real coefficient，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of conjugates imaginary-imaginary，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of conjugates real-real，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right value negate imaginary coefficient，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left value negate imaginary coefficient，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product negate imaginary coefficient，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product imaginary coefficient，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product imaginary-real，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product real-imaginary，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product real coefficient，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product imaginary-imaginary，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product real-real，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([7, 2], [2, 29], [-44, 207], [-44, -207], [-44, -207], 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 25167ded5c8efdcf1cb04788cdbd1c37dbcfbb8e5406488dd2136f9692b31ab4 - candidate record SHA-256: b63d34fb3f8a90148b632ff07d9a3ff5d84ef3a1d8e847162715a26493d4ad44 - semantic review receipt SHA-256: eeb35dc5daab92234bf72827627392b47f38ead4cfb574d4373bebc43c09fbf5 - question-first witness SHA-256: 3cf8e0d3a00b0df1994db2bfde81f4a31b382e170bdda83ea3d0b68da64e8419 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261023-r01-complex-modulus-conjugate-0095.json)