# 第 10852 題：有限線性組合 [返回所在分頁 55](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/55/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-foundations/#q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0002) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0020-10852 · q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0002 ## 原題與已知條件 固定維度與明示有限生成族。操作=span-weighted-sum；資料={"vectors":[[1,0],[0,1],[1,1]],"coefficients":[-11,-2,-1]}。請依 [vectors,coefficients,sum] 欄序回答。 - G001 — 固定維度與明示有限生成族。操作=span-weighted-sum；資料={"vectors":[[1,0],[0,1],[1,1]],"coefficients":[-11,-2,-1]}。請依 [vectors,coefficients,sum] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-combination-span](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-combination-span/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 fixed real coordinate space;span uses all finite real linear combinations 操作後 given coefficient witness and existence of some coefficients are separate 條件：無 span量化所有有限實係數組合；本題的整數／有理資料是明示切片，一個指定見證失敗不等於所有係數都失敗。 步驟識別與依賴規則：span_quantifier_and_witness_scope · 依賴：G001 S002 · implies操作前 original ordered generators=[[1, 0], [0, 1], [1, 1]];aligned coefficients=[-11, -2, -1] 操作後 fixed coordinate dimension=2;generator duplicates/order retained 條件：無 每個係數只配自己的生成元，保留重複與順序；不要依semantic身份排序或去重，亦不把有限組合換成無窮級數。 步驟識別與依賴規則：span_generator_coefficient_pairing · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 generator0 coordinate0 contribution := mul(-11, 1) 操作後 generator0 coordinate0 contribution = -11 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 generator1 coordinate0 contribution := mul(-2, 0) 操作後 generator1 coordinate0 contribution = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 generator2 coordinate0 contribution := mul(-1, 1) 操作後 generator2 coordinate0 contribution = -1 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 weighted coordinate0 complete sum := sum(-11, 0, -1) 操作後 weighted coordinate0 complete sum = -12 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 generator0 coordinate1 contribution := mul(-11, 0) 操作後 generator0 coordinate1 contribution = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 generator1 coordinate1 contribution := mul(-2, 1) 操作後 generator1 coordinate1 contribution = -2 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 generator2 coordinate1 contribution := mul(-1, 1) 操作後 generator2 coordinate1 contribution = -1 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 weighted coordinate1 complete sum := sum(0, -2, -1) 操作後 weighted coordinate1 complete sum = -3 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 all ordered weighted coordinates=[-12, -3] 操作後 finite combination=[-12, -3] 條件：無 同一座標內把全部生成元的貢獻加完，不取內積或長度代替向量。 步驟識別與依賴規則：span_complete_componentwise_reconstruction · 依賴：G001, S010 ## 逐步反向核對 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 weighted coordinate1 complete sum，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator2 coordinate1 contribution，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator1 coordinate1 contribution，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator0 coordinate1 contribution，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 weighted coordinate0 complete sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator2 coordinate0 contribution，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator1 coordinate0 contribution，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator0 coordinate0 contribution，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[1, 0], [0, 1], [1, 1]], [-11, -2, -1], [-12, -3]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 083f1313ba0e497556ecf45ffcb33e6cbc5936672cc1bcef12ef9bd54ace6e9e - candidate record SHA-256: 83b2f5e0a190e1326bcb065527c79b6260ab59f7c55a35890ea8cbdf96b1c556 - semantic review receipt SHA-256: b4c47938fd38085d44967226cfa8337d61334455472e7307c60d3a488cef598f - question-first witness SHA-256: 3c23baa97a5933bc07b44f2257017ef4e845bf1429bd6f5381410681c43b97e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0002.json)