# 第 10893 題：有限線性組合 [返回所在分頁 55](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/55/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-foundations/#q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0043) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0020-10893 · q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0043 ## 原題與已知條件 固定維度與明示有限生成族。操作=span-witness-audit；資料={"vectors":[[1,0],[0,1],[1,1]],"coefficients":[5,0,0],"target":[5,0]}。請依 [vectors,coefficients,target,sum,matches] 欄序回答。 - G001 — 固定維度與明示有限生成族。操作=span-witness-audit；資料={"vectors":[[1,0],[0,1],[1,1]],"coefficients":[5,0,0],"target":[5,0]}。請依 [vectors,coefficients,target,sum,matches] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-combination-span](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-combination-span/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 fixed real coordinate space;span uses all finite real linear combinations 操作後 given coefficient witness and existence of some coefficients are separate 條件：無 span量化所有有限實係數組合；本題的整數／有理資料是明示切片，一個指定見證失敗不等於所有係數都失敗。 步驟識別與依賴規則：span_quantifier_and_witness_scope · 依賴：G001 S002 · implies操作前 original ordered generators=[[1, 0], [0, 1], [1, 1]];aligned coefficients=[5, 0, 0] 操作後 fixed coordinate dimension=2;generator duplicates/order retained 條件：無 每個係數只配自己的生成元，保留重複與順序；不要依semantic身份排序或去重，亦不把有限組合換成無窮級數。 步驟識別與依賴規則：span_generator_coefficient_pairing · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 generator0 coordinate0 contribution := mul(5, 1) 操作後 generator0 coordinate0 contribution = 5 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 generator1 coordinate0 contribution := mul(0, 0) 操作後 generator1 coordinate0 contribution = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 generator2 coordinate0 contribution := mul(0, 1) 操作後 generator2 coordinate0 contribution = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 weighted coordinate0 complete sum := sum(5, 0, 0) 操作後 weighted coordinate0 complete sum = 5 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 generator0 coordinate1 contribution := mul(5, 0) 操作後 generator0 coordinate1 contribution = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 generator1 coordinate1 contribution := mul(0, 1) 操作後 generator1 coordinate1 contribution = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 generator2 coordinate1 contribution := mul(0, 1) 操作後 generator2 coordinate1 contribution = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 weighted coordinate1 complete sum := sum(0, 0, 0) 操作後 weighted coordinate1 complete sum = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 all ordered weighted coordinates=[5, 0] 操作後 finite combination=[5, 0] 條件：無 同一座標內把全部生成元的貢獻加完，不取內積或長度代替向量。 步驟識別與依賴規則：span_complete_componentwise_reconstruction · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 given witness coordinate0 residual := sub(5, 5) 操作後 given witness coordinate0 residual = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 given witness coordinate1 residual := sub(0, 0) 操作後 given witness coordinate1 residual = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 target=[5, 0];given-witness reconstruction=[5, 0];residuals=[0, 0] 操作後 this coefficient witness matches=是 條件：無 每個殘差都0才通過這一組係數；失敗只否定這組見證，不在此宣稱目標不屬span。 步驟識別與依賴規則：failed_given_span_witness_not_nonmembership · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 given witness coordinate1 residual，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 given witness coordinate0 residual，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 weighted coordinate1 complete sum，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator2 coordinate1 contribution，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator1 coordinate1 contribution，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator0 coordinate1 contribution，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 weighted coordinate0 complete sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator2 coordinate0 contribution，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator1 coordinate0 contribution，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator0 coordinate0 contribution，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[1, 0], [0, 1], [1, 1]], [5, 0, 0], [5, 0], [5, 0], 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 30a4bdb91f6edc7f67424473e8abe36d45bda58ac7dff5733d9bc3f06cdb416f - candidate record SHA-256: 41bad130466ef94bf26e309c71b9cb0c3657e101026cf27d6c3bf74d0e05a90e - semantic review receipt SHA-256: b4c47938fd38085d44967226cfa8337d61334455472e7307c60d3a488cef598f - question-first witness SHA-256: 3c23baa97a5933bc07b44f2257017ef4e845bf1429bd6f5381410681c43b97e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0043.json)