# 第 10824 題：有限線性組合 [返回所在分頁 55](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/55/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-foundations/#q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0074) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0020-10824 · q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0074 ## 原題與已知條件 固定維度與明示有限生成族。操作=span-r2-coordinate-solve；資料={"v1":[1,1],"v2":[1,-1],"target":[11,-1]}。請依 [v1,v2,target,det,a,b,reconstructed] 欄序回答。 - G001 — 固定維度與明示有限生成族。操作=span-r2-coordinate-solve；資料={"v1":[1,1],"v2":[1,-1],"target":[11,-1]}。請依 [v1,v2,target,det,a,b,reconstructed] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-combination-span](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-combination-span/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 fixed real coordinate space;span uses all finite real linear combinations 操作後 given coefficient witness and existence of some coefficients are separate 條件：無 span量化所有有限實係數組合；本題的整數／有理資料是明示切片，一個指定見證失敗不等於所有係數都失敗。 步驟識別與依賴規則：span_quantifier_and_witness_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 column determinant first product := mul(1, -1) 操作後 column determinant first product = -1 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 column determinant second product := mul(1, 1) 操作後 column determinant second product = 1 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 signed column determinant := sub(-1, 1) 操作後 signed column determinant = -2 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 first column=[1, 1];second column=[1, -1];target=[11, -1] 操作後 signed determinant=-2;independent generators=是 條件：無 兩生成元按原次序作矩陣直欄；非零有號行列式才可唯一解座標，不取絕對值或交換角色。 步驟識別與依賴規則：R2_column_independence_before_division · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 first coordinate numerator first product := mul(11, -1) 操作後 first coordinate numerator first product = -11 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 first coordinate numerator second product := mul(1, -1) 操作後 first coordinate numerator second product = -1 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 first coordinate numerator := sub(-11, -1) 操作後 first coordinate numerator = -10 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 second coordinate numerator first product := mul(1, -1) 操作後 second coordinate numerator first product = -1 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 second coordinate numerator second product := mul(11, 1) 操作後 second coordinate numerator second product = 11 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 second coordinate numerator := sub(-1, 11) 操作後 second coordinate numerator = -12 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 coefficient of first generator := div(-10, -2) 操作後 coefficient of first generator = 5 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 coefficient of second generator := div(-12, -2) 操作後 coefficient of second generator = 6 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 R2 reconstructed coordinate0 first contribution := mul(5, 1) 操作後 R2 reconstructed coordinate0 first contribution = 5 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 R2 reconstructed coordinate0 second contribution := mul(6, 1) 操作後 R2 reconstructed coordinate0 second contribution = 6 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 R2 reconstructed coordinate0 sum := sum(5, 6) 操作後 R2 reconstructed coordinate0 sum = 11 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 R2 reconstructed coordinate1 first contribution := mul(5, 1) 操作後 R2 reconstructed coordinate1 first contribution = 5 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 R2 reconstructed coordinate1 second contribution := mul(6, -1) 操作後 R2 reconstructed coordinate1 second contribution = -6 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 R2 reconstructed coordinate1 sum := sum(5, -6) 操作後 R2 reconstructed coordinate1 sum = -1 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 first-generator coefficient=5;second-generator coefficient=6 操作後 reconstructed target=[11, -1] 條件：無 用兩個求得係數代回原欄向量，兩個座標都等於目標才完成；分母規約不改生成元順序。 步驟識別與依賴規則：R2_exact_coordinate_back_substitution · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 reconstructed coordinate1 sum，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 reconstructed coordinate1 second contribution，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 reconstructed coordinate1 first contribution，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 reconstructed coordinate0 sum，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 reconstructed coordinate0 second contribution，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 reconstructed coordinate0 first contribution，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient of second generator，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient of first generator，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second coordinate numerator，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second coordinate numerator second product，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second coordinate numerator first product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first coordinate numerator，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first coordinate numerator second product，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first coordinate numerator first product，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 signed column determinant，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 column determinant second product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 column determinant first product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([1, 1], [1, -1], [11, -1], -2, 5, 6, [11, -1]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 76d41dfb5eeac58d258068294a6385cd6f5911b8680495903ac1d92d4b831f8a - candidate record SHA-256: f26470be743a5578bf5986b621e79bf0770f20844e20ec2833bfc274fc9f0ca2 - semantic review receipt SHA-256: b4c47938fd38085d44967226cfa8337d61334455472e7307c60d3a488cef598f - question-first witness SHA-256: 3c23baa97a5933bc07b44f2257017ef4e845bf1429bd6f5381410681c43b97e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0074.json)