# 第 10846 題：有限線性組合 [返回所在分頁 55](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/55/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-foundations/#q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0096) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0020-10846 · q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0096 ## 原題與已知條件 固定維度與明示有限生成族。操作=span-single-generator-membership；資料={"generator":[2,4],"target":[20,41]}。請依 [generator,target,scalar_or_status,in_span] 欄序回答。 - G001 — 固定維度與明示有限生成族。操作=span-single-generator-membership；資料={"generator":[2,4],"target":[20,41]}。請依 [generator,target,scalar_or_status,in_span] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-combination-span](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-combination-span/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 fixed real coordinate space;span uses all finite real linear combinations 操作後 given coefficient witness and existence of some coefficients are separate 條件：無 span量化所有有限實係數組合；本題的整數／有理資料是明示切片，一個指定見證失敗不等於所有係數都失敗。 步驟識別與依賴規則：span_quantifier_and_witness_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 single-generator first nonzero pivot scalar := div(20, 2) 操作後 single-generator first nonzero pivot scalar = 10 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 generator=[2, 4];target=[20, 41];first nonzero coordinate=0 操作後 necessary scalar=10 條件：無 非零首樞軸方程強迫任何可行純量等於此比值，負分母照精確有理數規約。 步驟識別與依賴規則：single_generator_pivot_necessary_scalar · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 single-generator coordinate0 scaled := mul(10, 2) 操作後 single-generator coordinate0 scaled = 20 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 single-generator coordinate0 residual := sub(20, 20) 操作後 single-generator coordinate0 residual = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 single-generator coordinate1 scaled := mul(10, 4) 操作後 single-generator coordinate1 scaled = 40 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 single-generator coordinate1 residual := sub(41, 40) 操作後 single-generator coordinate1 residual = 1 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 pivot scalar=10;all coordinate residuals=[0, 1] 操作後 in single-generator span=否;returned scalar remains=10 條件：無 兩條方向都核：全相等給實際見證；任一不等，因樞軸已強迫唯一純量，無其他純量能補救。即使失敗也按協定保留原候選比值。 步驟識別與依賴規則：single_generator_all_coordinates_after_pivot · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 single-generator coordinate1 residual，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 single-generator coordinate1 scaled，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 single-generator coordinate0 residual，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 single-generator coordinate0 scaled，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 single-generator first nonzero pivot scalar，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([2, 4], [20, 41], 10, 否) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 622c1a8e8d7d2a9d06f43ff04f9b291f32a46a8606fd8abb6369a86891ef66cd - candidate record SHA-256: 0ee013e36cb134a92f8253f26d68eaefefac2e6f2e81ef7c2b6900c061b99ea6 - semantic review receipt SHA-256: b4c47938fd38085d44967226cfa8337d61334455472e7307c60d3a488cef598f - question-first witness SHA-256: 3c23baa97a5933bc07b44f2257017ef4e845bf1429bd6f5381410681c43b97e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0096.json)