# 第 10997 題：有限子群與同態 [返回所在分頁 55](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/55/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261023-r03-subgroup-homomorphism-foundations/#q-20261013-advance-20261023-r03-subgroup-homomorphism-0022) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0020-10997 · q-20261013-advance-20261023-r03-subgroup-homomorphism-0022 ## 原題與已知條件 完整有限群Cayley表。操作=subgroup-subset-closure；資料={"n":6,"table":[[2,5,3,0,1,4],[5,3,4,1,2,0],[3,4,0,2,5,1],[0,1,2,3,4,5],[1,2,5,4,0,3],[4,0,1,5,3,2]],"subset":[0,2,3]}。請依 [n,subset,closed] 欄序回答。 - G001 — 完整有限群Cayley表。操作=subgroup-subset-closure；資料={"n":6,"table":[[2,5,3,0,1,4],[5,3,4,1,2,0],[3,4,0,2,5,1],[0,1,2,3,4,5],[1,2,5,4,0,3],[4,0,1,5,3,2]],"subset":[0,2,3]}。請依 [n,subset,closed] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-subgroup-homomorphism](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subgroup-homomorphism/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 group=ambient;carrier Fin(6);complete Cayley table=[[2, 5, 3, 0, 1, 4], [5, 3, 4, 1, 2, 0], [3, 4, 0, 2, 5, 1], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 2, 5, 4, 0, 3], [4, 0, 1, 5, 3, 2]] 操作後 typed operation closure=是;all associativity failures=[] 條件：無 整張表先合型並核全部結合律三元組，不能只驗候選子集或同態碰到的格；此題要求已合格有限群。 步驟識別與依賴規則：complete_group_table_closure_associativity · 依賴：G001 S002 · implies操作前 group=ambient;candidate identity=0;left products row=[2, 5, 3, 0, 1, 4];right products column=[2, 5, 3, 0, 1, 4] 操作後 both sides equal carrier labels=否 條件：無 左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。 步驟識別與依賴規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 group=ambient;candidate identity=1;left products row=[5, 3, 4, 1, 2, 0];right products column=[5, 3, 4, 1, 2, 0] 操作後 both sides equal carrier labels=否 條件：無 左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。 步驟識別與依賴規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 group=ambient;candidate identity=2;left products row=[3, 4, 0, 2, 5, 1];right products column=[3, 4, 0, 2, 5, 1] 操作後 both sides equal carrier labels=否 條件：無 左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。 步驟識別與依賴規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 group=ambient;candidate identity=3;left products row=[0, 1, 2, 3, 4, 5];right products column=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 both sides equal carrier labels=是 條件：無 左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。 步驟識別與依賴規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 group=ambient;candidate identity=4;left products row=[1, 2, 5, 4, 0, 3];right products column=[1, 2, 5, 4, 0, 3] 操作後 both sides equal carrier labels=否 條件：無 左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。 步驟識別與依賴規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 group=ambient;candidate identity=5;left products row=[4, 0, 1, 5, 3, 2];right products column=[4, 0, 1, 5, 3, 2] 操作後 both sides equal carrier labels=否 條件：無 左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。 步驟識別與依賴規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 group=ambient;element=0;derived identity=3;two-sided inverse candidates=[2] 操作後 inverse=2 條件：無 按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。 步驟識別與依賴規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 group=ambient;element=1;derived identity=3;two-sided inverse candidates=[1] 操作後 inverse=1 條件：無 按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。 步驟識別與依賴規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 group=ambient;element=2;derived identity=3;two-sided inverse candidates=[0] 操作後 inverse=0 條件：無 按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。 步驟識別與依賴規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 group=ambient;element=3;derived identity=3;two-sided inverse candidates=[3] 操作後 inverse=3 條件：無 按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。 步驟識別與依賴規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 group=ambient;element=4;derived identity=3;two-sided inverse candidates=[5] 操作後 inverse=5 條件：無 按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。 步驟識別與依賴規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 group=ambient;element=5;derived identity=3;two-sided inverse candidates=[4] 操作後 inverse=4 條件：無 按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。 步驟識別與依賴規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 subset=[0, 2, 3];ordered pair=[0, 0];ambient product=2 操作後 product stays in subset=是 條件：無 核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。 步驟識別與依賴規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 subset=[0, 2, 3];ordered pair=[0, 2];ambient product=3 操作後 product stays in subset=是 條件：無 核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。 步驟識別與依賴規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 subset=[0, 2, 3];ordered pair=[0, 3];ambient product=0 操作後 product stays in subset=是 條件：無 核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。 步驟識別與依賴規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 subset=[0, 2, 3];ordered pair=[2, 0];ambient product=3 操作後 product stays in subset=是 條件：無 核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。 步驟識別與依賴規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 subset=[0, 2, 3];ordered pair=[2, 2];ambient product=0 操作後 product stays in subset=是 條件：無 核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。 步驟識別與依賴規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 subset=[0, 2, 3];ordered pair=[2, 3];ambient product=2 操作後 product stays in subset=是 條件：無 核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。 步驟識別與依賴規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 subset=[0, 2, 3];ordered pair=[3, 0];ambient product=0 操作後 product stays in subset=是 條件：無 核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。 步驟識別與依賴規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 subset=[0, 2, 3];ordered pair=[3, 2];ambient product=2 操作後 product stays in subset=是 條件：無 核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。 步驟識別與依賴規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 subset=[0, 2, 3];ordered pair=[3, 3];ambient product=3 操作後 product stays in subset=是 條件：無 核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。 步驟識別與依賴規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 nonempty finite subset=[0, 2, 3];product closed=是 操作後 requested field records closure in this qualified finite group 條件：無 本欄只輸出乘法閉合。在有限群且非空前提下，閉合確可推出子群：元素冪有限重複給單位元與逆的正冪。另一題仍明列各義務，不在這裡誤說此有限情況閉合不足。 步驟識別與依賴規則：finite_nonempty_closure_not_false_insufficiency_claim · 依賴：G001, S022 ## 逐步反向核對 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (6, [0, 2, 3], 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e241d2d5dd52e27dbacaeda3927e5d79279e5cb89a845ba155540b6307ed39c8 - candidate record SHA-256: db70aa2aa4cfac122d5c99b80a7bacabea6bb4b48ebb72cb3bad1b5f319c362b - semantic review receipt SHA-256: b4c47938fd38085d44967226cfa8337d61334455472e7307c60d3a488cef598f - question-first witness SHA-256: 3c23baa97a5933bc07b44f2257017ef4e845bf1429bd6f5381410681c43b97e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261023-r03-subgroup-homomorphism-0022.json)