# 第 10505 題：度量收斂證書 [返回所在分頁 53](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/53/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261023-r04-metric-convergence-foundations/#q-20261013-advance-20261023-r04-metric-convergence-0005) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0020-10505 · q-20261013-advance-20261023-r04-metric-convergence-0005 ## 原題與已知條件 完整有限度量與明示序列模型。操作=metricconv-ball-inventory；資料={"n":4,"distances":[[0,5,11,18],[5,0,6,13],[11,6,0,7],[18,13,7,0]],"center":0,"epsilon":[5,1]}。請依 [n,center,epsilon,ball] 欄序回答。 - G001 — 完整有限度量與明示序列模型。操作=metricconv-ball-inventory；資料={"n":4,"distances":[[0,5,11,18],[5,0,6,13],[11,6,0,7],[18,13,7,0]],"center":0,"epsilon":[5,1]}。請依 [n,center,epsilon,ball] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-metric-convergence](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-metric-convergence/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 carrier Fin(4);complete distance table=[[0, 5, 11, 18], [5, 0, 6, 13], [11, 6, 0, 7], [18, 13, 7, 0]] 操作後 nonnegative typed entries=是;zero iff equal=是;symmetric=是;all triangle tests=是 條件：無 完整表先核度量前提，不只驗本題查到的格；標籤不是距離值，對角0、非對角正且所有三角條件成立才可用後續論證。 步驟識別與依賴規則：whole_qualified_finite_metric · 依賴：G001 S002 · implies操作前 raw epsilon=[5, 1] 操作後 normalized positive epsilon=5 條件：無 原分母非零，正規化後epsilon須正；負原分母可正規化，不以機器總化除法略過條件。 步驟識別與依賴規則：metric_positive_epsilon_original_denominator · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 ball state0 distance times epsilon denominator := mul(0, 1) 操作後 ball state0 distance times epsilon denominator = 0 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ball state0:distance=0;epsilon=5;positive denominator=1 操作後 cross product=0;strictly below numerator=是 條件：無 正分母交乘後仍用嚴格小於；等於epsilon時不在開球內。 步驟識別與依賴規則：strict_metric_distance_comparison · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 ball state1 distance times epsilon denominator := mul(5, 1) 操作後 ball state1 distance times epsilon denominator = 5 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ball state1:distance=5;epsilon=5;positive denominator=1 操作後 cross product=5;strictly below numerator=否 條件：無 正分母交乘後仍用嚴格小於；等於epsilon時不在開球內。 步驟識別與依賴規則：strict_metric_distance_comparison · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 ball state2 distance times epsilon denominator := mul(11, 1) 操作後 ball state2 distance times epsilon denominator = 11 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ball state2:distance=11;epsilon=5;positive denominator=1 操作後 cross product=11;strictly below numerator=否 條件：無 正分母交乘後仍用嚴格小於；等於epsilon時不在開球內。 步驟識別與依賴規則：strict_metric_distance_comparison · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 ball state3 distance times epsilon denominator := mul(18, 1) 操作後 ball state3 distance times epsilon denominator = 18 條件：無 按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ball state3:distance=18;epsilon=5;positive denominator=1 操作後 cross product=18;strictly below numerator=否 條件：無 正分母交乘後仍用嚴格小於；等於epsilon時不在開球內。 步驟識別與依賴規則：strict_metric_distance_comparison · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 center=0;strict radius=5;all carrier labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 open ball=[0] 條件：無 逐一核完整載體，保留中心並排除邊界，不能依標籤大小或圖形外觀猜球。 步驟識別與依賴規則：complete_strict_ball_inventory · 依賴：G001, S010 ## 逐步反向核對 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ball state3 distance times epsilon denominator，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ball state2 distance times epsilon denominator，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ball state1 distance times epsilon denominator，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ball state0 distance times epsilon denominator，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (4, 0, 5, [0]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: b478fa1f60152048f926cfc22c5ced93b1f193df5b93677f284ed191e390acaf - candidate record SHA-256: 273f0f2a6575b1dbf3cce0c7e4a36214d56ebf5759b2afc5d4c9c8e6c8bebc01 - semantic review receipt SHA-256: b4c47938fd38085d44967226cfa8337d61334455472e7307c60d3a488cef598f - question-first witness SHA-256: 3c23baa97a5933bc07b44f2257017ef4e845bf1429bd6f5381410681c43b97e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261023-r04-metric-convergence-0005.json)