# 第 11290 題：線性獨立與基底 [返回所在分頁 57](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/57/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-foundations/#q-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-0015) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0021-11290 · q-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-0015 ## 原題與已知條件 明示有限座標向量族。操作=linbasis-independence-audit；資料={"vectors":[[1,0],[2,1]]}。請依 [vectors,rank,independent] 欄序回答。 - G001 — 明示有限座標向量族。操作=linbasis-independence-audit；資料={"vectors":[[1,0],[2,1]]}。請依 [vectors,rank,independent] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-independence-basis](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-independence-basis/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 ordered column vectors=[[1, 0], [2, 1]] 操作後 homogeneous coefficient matrix=[[1, 2], [0, 1]];unknown count=2 條件：無 向量依原序作直欄，線性獨立等價於此齊次系統只有零係數解；實際列運算須保留整組方程的解。 步驟識別與依賴規則：column_matrix_homogeneous_equations · 依賴：G001 S002 · implies操作前 matrix=[[1, 2], [0, 1]];next pivot column=0;swap rows 0,0 操作後 matrix=[[1, 2], [0, 1]] 條件：無 交換兩列只交換方程次序，反向再交換即可回復，不交換原向量欄序。 步驟識別與依賴規則：invertible_row_swap · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 pivot0 normalized column0 := div(1, 1) 操作後 pivot0 normalized column0 = 1 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 pivot0 normalized column1 := div(2, 1) 操作後 pivot0 normalized column1 = 2 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 row=0;old row=[1, 2];nonzero divisor=1 操作後 new row=[1, 2] 條件：無 樞軸已證非零才可除整列；乘回同一數可反向，因此齊次解集不變。 步驟識別與依賴規則：nonzero_row_scaling_solution_equivalence · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 matrix=[[1, 2], [0, 1]];next pivot column=1;swap rows 1,1 操作後 matrix=[[1, 2], [0, 1]] 條件：無 交換兩列只交換方程次序，反向再交換即可回復，不交換原向量欄序。 步驟識別與依賴規則：invertible_row_swap · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 pivot1 normalized column0 := div(0, 1) 操作後 pivot1 normalized column0 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 pivot1 normalized column1 := div(1, 1) 操作後 pivot1 normalized column1 = 1 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 row=1;old row=[0, 1];nonzero divisor=1 操作後 new row=[0, 1] 條件：無 樞軸已證非零才可除整列；乘回同一數可反向，因此齊次解集不變。 步驟識別與依賴規則：nonzero_row_scaling_solution_equivalence · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 eliminate pivot1 row0 column0 scaled := mul(2, 0) 操作後 eliminate pivot1 row0 column0 scaled = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 eliminate pivot1 row0 column0 residual := sub(1, 0) 操作後 eliminate pivot1 row0 column0 residual = 1 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 eliminate pivot1 row0 column1 scaled := mul(2, 1) 操作後 eliminate pivot1 row0 column1 scaled = 2 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 eliminate pivot1 row0 column1 residual := sub(2, 2) 操作後 eliminate pivot1 row0 column1 residual = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 target row=0;old=[1, 2];pivot row=[0, 1];factor=2 操作後 new row=[1, 0];matrix=[[1, 0], [0, 1]] 條件：無 用目標列減factor倍的樞軸列消去此欄；加回同一倍數便回原式，故不會創造或刪掉解。 步驟識別與依賴規則：invertible_pivot_row_subtraction · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 reduced matrix=[[1, 0], [0, 1]];pivot columns=[0, 1];unknown count=2 操作後 rank=2;free variables=0;independent=是 條件：無 樞軸數是秩；每欄都有樞軸時齊次解只能全零。否則選一個自由變數為1、其餘自由變數0，再回代樞軸變數得到非平凡零組合。 步驟識別與依賴規則：rank_free_variables_and_independence · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 eliminate pivot1 row0 column1 residual，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 eliminate pivot1 row0 column1 scaled，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 eliminate pivot1 row0 column0 residual，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 eliminate pivot1 row0 column0 scaled，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pivot1 normalized column1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pivot1 normalized column0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pivot0 normalized column1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pivot0 normalized column0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[1, 0], [2, 1]], 2, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f3bc373b32373c89795acd294ada5342bf18db6d09ec91fd23d13fa3f20e03fb - candidate record SHA-256: 19b8a4847e6b234c456dfa5f25a9c83e813b08055a92e4ebe5a1c33d14125dc4 - semantic review receipt SHA-256: 47d23d3735987d68e27733b051bdfa80a3616d44fb223b82bf2e6c8e46d49258 - question-first witness SHA-256: a857db558000724020d2d5e815cb6bc3e2c9e2933df295bf33eb478d3c695139 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-0015.json)