# 第 11230 題：線性獨立與基底 [返回所在分頁 57](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/57/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-foundations/#q-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-0055) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0021-11230 · q-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-0055 ## 原題與已知條件 明示有限座標向量族。操作=linbasis-coordinate-witness；資料={"basis":[[1,2],[0,1]],"target":[-8,1]}。請依 [basis,target,det,first_coordinate,second_coordinate,reconstructed] 欄序回答。 - G001 — 明示有限座標向量族。操作=linbasis-coordinate-witness；資料={"basis":[[1,2],[0,1]],"target":[-8,1]}。請依 [basis,target,det,first_coordinate,second_coordinate,reconstructed] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-independence-basis](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-independence-basis/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 basis determinant first product := mul(1, 1) 操作後 basis determinant first product = 1 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 basis determinant second product := mul(0, 2) 操作後 basis determinant second product = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 basis determinant signed difference := sub(1, 0) 操作後 basis determinant signed difference = 1 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ordered basis columns=[[1, 2], [0, 1]];target=[-8, 1];signed determinant=1 操作後 nonzero determinant;unique real coordinates;Cramer division permitted 條件：無 有號行列式非零才有唯一座標，按原基底次序解，不取絕對值或預先假設可逆。 步驟識別與依賴規則：ordered_basis_qualification_before_coordinates · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 first coordinate numerator first product := mul(-8, 1) 操作後 first coordinate numerator first product = -8 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 first coordinate numerator second product := mul(0, 1) 操作後 first coordinate numerator second product = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 first coordinate numerator signed difference := sub(-8, 0) 操作後 first coordinate numerator signed difference = -8 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 second coordinate numerator first product := mul(1, 1) 操作後 second coordinate numerator first product = 1 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 second coordinate numerator second product := mul(-8, 2) 操作後 second coordinate numerator second product = -16 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 second coordinate numerator signed difference := sub(1, -16) 操作後 second coordinate numerator signed difference = 17 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 first basis coordinate := div(-8, 1) 操作後 first basis coordinate = -8 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 second basis coordinate := div(17, 1) 操作後 second basis coordinate = 17 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 coordinate reconstruction:ordered vectors=[[1, 2], [0, 1]];aligned weights=[-8, 17] 操作後 dimension=2;preserve duplicates and order 條件：無 保留向量順序、重複項與係數配對；同一座標加完所有向量的貢獻。 步驟識別與依賴規則：ordered_vector_weight_pairing · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 coordinate reconstruction coordinate0 term0 := mul(-8, 1) 操作後 coordinate reconstruction coordinate0 term0 = -8 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 coordinate reconstruction coordinate0 term1 := mul(17, 0) 操作後 coordinate reconstruction coordinate0 term1 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 coordinate reconstruction coordinate0 sum := sum(-8, 0) 操作後 coordinate reconstruction coordinate0 sum = -8 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 coordinate reconstruction coordinate1 term0 := mul(-8, 2) 操作後 coordinate reconstruction coordinate1 term0 = -16 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 coordinate reconstruction coordinate1 term1 := mul(17, 1) 操作後 coordinate reconstruction coordinate1 term1 = 17 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 coordinate reconstruction coordinate1 sum := sum(-16, 17) 操作後 coordinate reconstruction coordinate1 sum = 1 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 basis target residual0 := sub(-8, -8) 操作後 basis target residual0 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 basis target residual1 := sub(1, 1) 操作後 basis target residual1 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 coordinates=[-8, 17];reconstructed=[-8, 1];target=[-8, 1];residuals=[0, 0] 操作後 both original equations satisfied;uniqueness follows from qualified basis 條件：無 重組兩個原方程全通過給存在性；唯一性另由非零行列式，不由一次代值成功推得。 步驟識別與依賴規則：coordinate_reconstruction_and_uniqueness · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis target residual1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis target residual0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coordinate reconstruction coordinate1 sum，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coordinate reconstruction coordinate1 term1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coordinate reconstruction coordinate1 term0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coordinate reconstruction coordinate0 sum，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coordinate reconstruction coordinate0 term1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coordinate reconstruction coordinate0 term0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second basis coordinate，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first basis coordinate，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second coordinate numerator signed difference，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second coordinate numerator second product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second coordinate numerator first product，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first coordinate numerator signed difference，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first coordinate numerator second product，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first coordinate numerator first product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis determinant signed difference，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis determinant second product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis determinant first product，不以小數近似替代。 ## 結論 ([[1, 2], [0, 1]], [-8, 1], 1, -8, 17, [-8, 1]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 91595126174d7b274d27fe3f85344389fd94ccd2c6808545f4d68a1b065c5cf6 - candidate record SHA-256: b69d4427714dd0fcec3d9cb87848b80e238dabea3e1aaaf1cee8b2b3471d3843 - semantic review receipt SHA-256: 47d23d3735987d68e27733b051bdfa80a3616d44fb223b82bf2e6c8e46d49258 - question-first witness SHA-256: a857db558000724020d2d5e815cb6bc3e2c9e2933df295bf33eb478d3c695139 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-0055.json)