# 第 11265 題：線性獨立與基底 [返回所在分頁 57](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/57/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-foundations/#q-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-0090) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0021-11265 · q-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-0090 ## 原題與已知條件 明示有限座標向量族。操作=linbasis-dependence-witness-audit；資料={"vectors":[[1,0],[0,1],[1,2]],"coefficients":[-1,-2,1]}。請依 [vectors,coefficients,sum,nontrivial,zero_sum,dependence_witness] 欄序回答。 - G001 — 明示有限座標向量族。操作=linbasis-dependence-witness-audit；資料={"vectors":[[1,0],[0,1],[1,2]],"coefficients":[-1,-2,1]}。請依 [vectors,coefficients,sum,nontrivial,zero_sum,dependence_witness] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-independence-basis](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-independence-basis/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 dependence witness:ordered vectors=[[1, 0], [0, 1], [1, 2]];aligned weights=[-1, -2, 1] 操作後 dimension=2;preserve duplicates and order 條件：無 保留向量順序、重複項與係數配對；同一座標加完所有向量的貢獻。 步驟識別與依賴規則：ordered_vector_weight_pairing · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 dependence witness coordinate0 term0 := mul(-1, 1) 操作後 dependence witness coordinate0 term0 = -1 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 dependence witness coordinate0 term1 := mul(-2, 0) 操作後 dependence witness coordinate0 term1 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 dependence witness coordinate0 term2 := mul(1, 1) 操作後 dependence witness coordinate0 term2 = 1 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 dependence witness coordinate0 sum := sum(-1, 0, 1) 操作後 dependence witness coordinate0 sum = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 dependence witness coordinate1 term0 := mul(-1, 0) 操作後 dependence witness coordinate1 term0 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 dependence witness coordinate1 term1 := mul(-2, 1) 操作後 dependence witness coordinate1 term1 = -2 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 dependence witness coordinate1 term2 := mul(1, 2) 操作後 dependence witness coordinate1 term2 = 2 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 dependence witness coordinate1 sum := sum(0, -2, 2) 操作後 dependence witness coordinate1 sum = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 given coefficients=[-1, -2, 1];weighted sum=[0, 0] 操作後 nontrivial=是;zero_sum=是;dependence_witness=是 條件：無 同時有非零係數且向量和全零才證相依。全零係數的零和是平凡解；指定見證失敗不證線性獨立。 步驟識別與依賴規則：dependence_requires_nontrivial_zero_combination · 依賴：G001, S009 ## 逐步反向核對 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate1 sum，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate1 term2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate1 term1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate1 term0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate0 sum，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate0 term2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate0 term1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate0 term0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[1, 0], [0, 1], [1, 2]], [-1, -2, 1], [0, 0], 是, 是, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: eb8048797236d8dd4efec7fedd4e35468d81b16b8dc77578077957ee64709cd3 - candidate record SHA-256: 2eded7974384b0e5c494e940a3207e38750a7de84367bc031b0f4beec37265f2 - semantic review receipt SHA-256: 47d23d3735987d68e27733b051bdfa80a3616d44fb223b82bf2e6c8e46d49258 - question-first witness SHA-256: a857db558000724020d2d5e815cb6bc3e2c9e2933df295bf33eb478d3c695139 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261024-r01-linear-independence-basis-0090.json)