# 第 11521 題：偏導數

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0022-11521 · q-20261013-advance-20261024-r04-partial-derivative-0071



## 原題與已知條件

固定另一座標的多項式切片。操作=partial-gradient；資料={"coefficients":[8,-2,3,1,1,-1],"x":-2,"y":3}。請依 [coefficients,x,y,gradient] 欄序回答。


- G001 — 固定另一座標的多項式切片。操作=partial-gradient；資料={"coefficients":[8,-2,3,1,1,-1],"x":-2,"y":3}。請依 [coefficients,x,y,gradient] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-partial-derivative](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-partial-derivative/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

original coefficients=[8, -2, 3, 1, 1, -1];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

操作後

u(x,y)=(8)+(-2)*x+(3)*y+(1)*x^2+(1)*x*y+(-1)*y^2

條件：無

六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。

步驟識別與依賴規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

x partial slice fixed coordinate squared := mul(3, 3)

操作後

x partial slice fixed coordinate squared = 9

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

x partial slice fixed linear term := mul(3, 3)

操作後

x partial slice fixed linear term = 9

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

x partial slice fixed square term := mul(-1, 9)

操作後

x partial slice fixed square term = -9

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

x partial slice constant coefficient := sum(8, 9, -9)

操作後

x partial slice constant coefficient = 8

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

x partial slice cross contribution := mul(1, 3)

操作後

x partial slice cross contribution = 3

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

x partial slice linear coefficient := sum(-2, 3)

操作後

x partial slice linear coefficient = 1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

x partial slice:vary x;fix y=3;original coefficients=[8, -2, 3, 1, 1, -1]

操作後

ascending x slice coefficients=[8, 1, 1]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

x partial:g(t)=(8)+(1)*t+(1)*t^2;point=-2;h!=0

操作後

g(-2+h)-g(-2)=(1)*h+(1)*(2*(-2)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

x partial twice quadratic coefficient := mul(2, 1)

操作後

x partial twice quadratic coefficient = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

x partial derivative point term := mul(2, -2)

操作後

x partial derivative point term = -4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

x partial derivative value := sum(1, -4)

操作後

x partial derivative value = -3

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

x partial:h!=0;increment=h*((1)+2*(1)*(-2)+(1)*h)

操作後

difference quotient=-3+(1)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

x partial:quotient=-3+(1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(-3))=abs(1)*abs(h)<epsilon;limit=-3

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

y partial slice fixed coordinate squared := mul(-2, -2)

操作後

y partial slice fixed coordinate squared = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

y partial slice fixed linear term := mul(-2, -2)

操作後

y partial slice fixed linear term = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

y partial slice fixed square term := mul(1, 4)

操作後

y partial slice fixed square term = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

y partial slice constant coefficient := sum(8, 4, 4)

操作後

y partial slice constant coefficient = 16

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

y partial slice cross contribution := mul(1, -2)

操作後

y partial slice cross contribution = -2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

y partial slice linear coefficient := sum(3, -2)

操作後

y partial slice linear coefficient = 1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

y partial slice:vary y;fix x=-2;original coefficients=[8, -2, 3, 1, 1, -1]

操作後

ascending y slice coefficients=[16, 1, -1]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

y partial:g(t)=(16)+(1)*t+(-1)*t^2;point=3;h!=0

操作後

g(3+h)-g(3)=(1)*h+(-1)*(2*(3)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S021





S023 · calculation操作前

y partial twice quadratic coefficient := mul(2, -1)

操作後

y partial twice quadratic coefficient = -2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022





S024 · calculation操作前

y partial derivative point term := mul(-2, 3)

操作後

y partial derivative point term = -6

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023





S025 · calculation操作前

y partial derivative value := sum(1, -6)

操作後

y partial derivative value = -5

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

y partial:h!=0;increment=h*((1)+2*(-1)*(3)+(-1)*h)

操作後

difference quotient=-5+(-1)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

y partial:quotient=-5+(-1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(-5))=abs(-1)*abs(h)<epsilon;limit=-5

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

x partial=-3;y partial=-5

操作後

gradient in declared x,y order=[-3, -5]

條件：無

依x後y排列兩個已推得的偏導；此明示多項式算式不把一般函數的偏導存在誤升格為全微分定理。

步驟識別與依賴規則：gradient_order_not_general_differentiability_claim · 依賴：G001, S027









## 逐步反向核對


- S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial derivative value，不以小數近似替代。
- S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial derivative point term，不以小數近似替代。
- S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice linear coefficient，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice cross contribution，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice constant coefficient，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice fixed square term，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice fixed linear term，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial derivative value，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial derivative point term，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice linear coefficient，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice cross contribution，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice constant coefficient，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice fixed square term，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice fixed linear term，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([8, -2, 3, 1, 1, -1], -2, 3, [-3, -5])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: d8b2c606d1c6e7cfc1d4a6c1bf3b0cf0007c96f7f3a8e38ed7332071327eba6b
- candidate record SHA-256: 09002672387ff5a8f127d16946d32cbf30d17e3817298254747d3f0c47797984
- semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac
- question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261024-r04-partial-derivative-0071.json)