# 第 11590 題：偏導數 [返回所在分頁 58](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/58/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261024-r04-partial-derivative-foundations/#q-20261013-advance-20261024-r04-partial-derivative-0090) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0022-11590 · q-20261013-advance-20261024-r04-partial-derivative-0090 ## 原題與已知條件 固定另一座標的多項式切片。操作=partial-x-slice-derivative；資料={"coefficients":[2,2,-3,1,1,-1],"fixed_y":2,"x":-3}。請依 [coefficients,fixed_y,slice_coefficients,derivative_coefficients,x,value] 欄序回答。 - G001 — 固定另一座標的多項式切片。操作=partial-x-slice-derivative；資料={"coefficients":[2,2,-3,1,1,-1],"fixed_y":2,"x":-3}。請依 [coefficients,fixed_y,slice_coefficients,derivative_coefficients,x,value] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-partial-derivative](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-partial-derivative/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 original coefficients=[2, 2, -3, 1, 1, -1];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2] 操作後 u(x,y)=(2)+(2)*x+(-3)*y+(1)*x^2+(1)*x*y+(-1)*y^2 條件：無 六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。 步驟識別與依賴規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 fixed-y slice fixed coordinate squared := mul(2, 2) 操作後 fixed-y slice fixed coordinate squared = 4 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 fixed-y slice fixed linear term := mul(-3, 2) 操作後 fixed-y slice fixed linear term = -6 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 fixed-y slice fixed square term := mul(-1, 4) 操作後 fixed-y slice fixed square term = -4 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 fixed-y slice constant coefficient := sum(2, -6, -4) 操作後 fixed-y slice constant coefficient = -8 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 fixed-y slice cross contribution := mul(1, 2) 操作後 fixed-y slice cross contribution = 2 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 fixed-y slice linear coefficient := sum(2, 2) 操作後 fixed-y slice linear coefficient = 4 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 fixed-y slice:vary x;fix y=2;original coefficients=[2, 2, -3, 1, 1, -1] 操作後 ascending x slice coefficients=[-8, 4, 1] 條件：無 先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。 步驟識別與依賴規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 x slice derivative:g(t)=(-8)+(4)*t+(1)*t^2;point=-3;h!=0 操作後 g(-3+h)-g(-3)=(4)*h+(1)*(2*(-3)*h+h^2) 條件：無 常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。 步驟識別與依賴規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 x slice derivative twice quadratic coefficient := mul(2, 1) 操作後 x slice derivative twice quadratic coefficient = 2 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 x slice derivative derivative point term := mul(2, -3) 操作後 x slice derivative derivative point term = -6 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 x slice derivative derivative value := sum(4, -6) 操作後 x slice derivative derivative value = -2 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 x slice derivative:h!=0;increment=h*((4)+2*(1)*(-3)+(1)*h) 操作後 difference quotient=-2+(1)*h 條件：無 提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。 步驟識別與依賴規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 x slice derivative:quotient=-2+(1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1 操作後 0