# 第 11605 題：線性PDE切片

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R0022-11605 · q-20261013-advance-20261024-r06-partial-differential-equation-0005



## 原題與已知條件

明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-first-order-point-residual；資料={"coefficients":[-8,2,1,1,0,2],"operator":[2,2],"source":-8,"x":2,"y":1}。請依 [coefficients,operator,x,y,u_x,u_y,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。


- G001 — 明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-first-order-point-residual；資料={"coefficients":[-8,2,1,1,0,2],"operator":[2,2],"source":-8,"x":2,"y":1}。請依 [coefficients,operator,x,y,u_x,u_y,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-partial-differential-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-partial-differential-equation/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

original coefficients=[-8, 2, 1, 1, 0, 2];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

操作後

u(x,y)=(-8)+(2)*x+(1)*y+(1)*x^2+(0)*x*y+(2)*y^2

條件：無

六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。

步驟識別與依賴規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

PDE x slice fixed coordinate squared := mul(1, 1)

操作後

PDE x slice fixed coordinate squared = 1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

PDE x slice fixed linear term := mul(1, 1)

操作後

PDE x slice fixed linear term = 1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

PDE x slice fixed square term := mul(2, 1)

操作後

PDE x slice fixed square term = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

PDE x slice constant coefficient := sum(-8, 1, 2)

操作後

PDE x slice constant coefficient = -5

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

PDE x slice cross contribution := mul(0, 1)

操作後

PDE x slice cross contribution = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

PDE x slice linear coefficient := sum(2, 0)

操作後

PDE x slice linear coefficient = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

PDE x slice:vary x;fix y=1;original coefficients=[-8, 2, 1, 1, 0, 2]

操作後

ascending x slice coefficients=[-5, 2, 1]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

PDE x partial:g(t)=(-5)+(2)*t+(1)*t^2;point=2;h!=0

操作後

g(2+h)-g(2)=(2)*h+(1)*(2*(2)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

PDE x partial twice quadratic coefficient := mul(2, 1)

操作後

PDE x partial twice quadratic coefficient = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

PDE x partial derivative point term := mul(2, 2)

操作後

PDE x partial derivative point term = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

PDE x partial derivative value := sum(2, 4)

操作後

PDE x partial derivative value = 6

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

PDE x partial:h!=0;increment=h*((2)+2*(1)*(2)+(1)*h)

操作後

difference quotient=6+(1)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

PDE x partial:quotient=6+(1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(6))=abs(1)*abs(h)<epsilon;limit=6

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

PDE y slice fixed coordinate squared := mul(2, 2)

操作後

PDE y slice fixed coordinate squared = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

PDE y slice fixed linear term := mul(2, 2)

操作後

PDE y slice fixed linear term = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

PDE y slice fixed square term := mul(1, 4)

操作後

PDE y slice fixed square term = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

PDE y slice constant coefficient := sum(-8, 4, 4)

操作後

PDE y slice constant coefficient = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

PDE y slice cross contribution := mul(0, 2)

操作後

PDE y slice cross contribution = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

PDE y slice linear coefficient := sum(1, 0)

操作後

PDE y slice linear coefficient = 1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

PDE y slice:vary y;fix x=2;original coefficients=[-8, 2, 1, 1, 0, 2]

操作後

ascending y slice coefficients=[0, 1, 2]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

PDE y partial:g(t)=(0)+(1)*t+(2)*t^2;point=1;h!=0

操作後

g(1+h)-g(1)=(1)*h+(2)*(2*(1)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S021





S023 · calculation操作前

PDE y partial twice quadratic coefficient := mul(2, 2)

操作後

PDE y partial twice quadratic coefficient = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022





S024 · calculation操作前

PDE y partial derivative point term := mul(4, 1)

操作後

PDE y partial derivative point term = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023





S025 · calculation操作前

PDE y partial derivative value := sum(1, 4)

操作後

PDE y partial derivative value = 5

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

PDE y partial:h!=0;increment=h*((1)+2*(2)*(1)+(2)*h)

操作後

difference quotient=5+(2)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

PDE y partial:quotient=5+(2)*h;epsilon>0;delta=epsilon/2

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(5))=abs(2)*abs(h)<epsilon;limit=5

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S026





S028 · calculation操作前

first order term0 := mul(2, 6)

操作後

first order term0 = 12

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027





S029 · calculation操作前

first order term1 := mul(2, 5)

操作後

first order term1 = 10

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028





S030 · calculation操作前

first order operator sum := sum(12, 10)

操作後

first order operator sum = 22

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029





S031 · calculation操作前

first order signed residual := sub(22, -8)

操作後

first order signed residual = 30

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

query point=[2, 1];operator value=22;source=-8;signed residual=30

操作後

satisfied at declared point=否;no general solution claim

條件：無

此欄回答指定點殘差是否為零。單點通過通常不證全域解，也不給解存在唯一、正則或適定性；全域恆等需另核完整符號殘差。

步驟識別與依賴規則：PDE_point_obligation_not_global_solution · 依賴：G001, S031









## 逐步反向核對


- S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order signed residual，不以小數近似替代。
- S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order operator sum，不以小數近似替代。
- S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order term1，不以小數近似替代。
- S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order term0，不以小數近似替代。
- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial derivative value，不以小數近似替代。
- S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial derivative point term，不以小數近似替代。
- S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice linear coefficient，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice cross contribution，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice constant coefficient，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed square term，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed linear term，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial derivative value，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial derivative point term，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice linear coefficient，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice cross contribution，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice constant coefficient，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed square term，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed linear term，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([-8, 2, 1, 1, 0, 2], [2, 2], 2, 1, 6, 5, -8, 30, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 2490851d898d31452f997771ff4990f7c160039b3a7eb8be325e8717a6fa80b3
- candidate record SHA-256: 5f9ef2280440ee873410d62eafc61f21dbdd007d0ce6c9232dcc5132c6444d94
- semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac
- question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261024-r06-partial-differential-equation-0005.json)