# 第 11615 題：線性PDE切片

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R0022-11615 · q-20261013-advance-20261024-r06-partial-differential-equation-0015



## 原題與已知條件

明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-first-order-point-residual；資料={"coefficients":[2,2,-3,3,1,2],"operator":[3,2],"source":2,"x":2,"y":-3}。請依 [coefficients,operator,x,y,u_x,u_y,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。


- G001 — 明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-first-order-point-residual；資料={"coefficients":[2,2,-3,3,1,2],"operator":[3,2],"source":2,"x":2,"y":-3}。請依 [coefficients,operator,x,y,u_x,u_y,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-partial-differential-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-partial-differential-equation/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

original coefficients=[2, 2, -3, 3, 1, 2];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

操作後

u(x,y)=(2)+(2)*x+(-3)*y+(3)*x^2+(1)*x*y+(2)*y^2

條件：無

六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。

步驟識別與依賴規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

PDE x slice fixed coordinate squared := mul(-3, -3)

操作後

PDE x slice fixed coordinate squared = 9

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

PDE x slice fixed linear term := mul(-3, -3)

操作後

PDE x slice fixed linear term = 9

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

PDE x slice fixed square term := mul(2, 9)

操作後

PDE x slice fixed square term = 18

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

PDE x slice constant coefficient := sum(2, 9, 18)

操作後

PDE x slice constant coefficient = 29

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

PDE x slice cross contribution := mul(1, -3)

操作後

PDE x slice cross contribution = -3

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

PDE x slice linear coefficient := sum(2, -3)

操作後

PDE x slice linear coefficient = -1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

PDE x slice:vary x;fix y=-3;original coefficients=[2, 2, -3, 3, 1, 2]

操作後

ascending x slice coefficients=[29, -1, 3]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

PDE x partial:g(t)=(29)+(-1)*t+(3)*t^2;point=2;h!=0

操作後

g(2+h)-g(2)=(-1)*h+(3)*(2*(2)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

PDE x partial twice quadratic coefficient := mul(2, 3)

操作後

PDE x partial twice quadratic coefficient = 6

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

PDE x partial derivative point term := mul(6, 2)

操作後

PDE x partial derivative point term = 12

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

PDE x partial derivative value := sum(-1, 12)

操作後

PDE x partial derivative value = 11

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

PDE x partial:h!=0;increment=h*((-1)+2*(3)*(2)+(3)*h)

操作後

difference quotient=11+(3)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

PDE x partial:quotient=11+(3)*h;epsilon>0;delta=epsilon/3

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(11))=abs(3)*abs(h)<epsilon;limit=11

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

PDE y slice fixed coordinate squared := mul(2, 2)

操作後

PDE y slice fixed coordinate squared = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

PDE y slice fixed linear term := mul(2, 2)

操作後

PDE y slice fixed linear term = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

PDE y slice fixed square term := mul(3, 4)

操作後

PDE y slice fixed square term = 12

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

PDE y slice constant coefficient := sum(2, 4, 12)

操作後

PDE y slice constant coefficient = 18

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

PDE y slice cross contribution := mul(1, 2)

操作後

PDE y slice cross contribution = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

PDE y slice linear coefficient := sum(-3, 2)

操作後

PDE y slice linear coefficient = -1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

PDE y slice:vary y;fix x=2;original coefficients=[2, 2, -3, 3, 1, 2]

操作後

ascending y slice coefficients=[18, -1, 2]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

PDE y partial:g(t)=(18)+(-1)*t+(2)*t^2;point=-3;h!=0

操作後

g(-3+h)-g(-3)=(-1)*h+(2)*(2*(-3)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S021





S023 · calculation操作前

PDE y partial twice quadratic coefficient := mul(2, 2)

操作後

PDE y partial twice quadratic coefficient = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022





S024 · calculation操作前

PDE y partial derivative point term := mul(4, -3)

操作後

PDE y partial derivative point term = -12

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023





S025 · calculation操作前

PDE y partial derivative value := sum(-1, -12)

操作後

PDE y partial derivative value = -13

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

PDE y partial:h!=0;increment=h*((-1)+2*(2)*(-3)+(2)*h)

操作後

difference quotient=-13+(2)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

PDE y partial:quotient=-13+(2)*h;epsilon>0;delta=epsilon/2

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(-13))=abs(2)*abs(h)<epsilon;limit=-13

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S026





S028 · calculation操作前

first order term0 := mul(3, 11)

操作後

first order term0 = 33

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027





S029 · calculation操作前

first order term1 := mul(2, -13)

操作後

first order term1 = -26

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028





S030 · calculation操作前

first order operator sum := sum(33, -26)

操作後

first order operator sum = 7

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029





S031 · calculation操作前

first order signed residual := sub(7, 2)

操作後

first order signed residual = 5

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

query point=[2, -3];operator value=7;source=2;signed residual=5

操作後

satisfied at declared point=否;no general solution claim

條件：無

此欄回答指定點殘差是否為零。單點通過通常不證全域解，也不給解存在唯一、正則或適定性；全域恆等需另核完整符號殘差。

步驟識別與依賴規則：PDE_point_obligation_not_global_solution · 依賴：G001, S031









## 逐步反向核對


- S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order signed residual，不以小數近似替代。
- S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order operator sum，不以小數近似替代。
- S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order term1，不以小數近似替代。
- S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order term0，不以小數近似替代。
- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial derivative value，不以小數近似替代。
- S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial derivative point term，不以小數近似替代。
- S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice linear coefficient，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice cross contribution，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice constant coefficient，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed square term，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed linear term，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial derivative value，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial derivative point term，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice linear coefficient，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice cross contribution，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice constant coefficient，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed square term，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed linear term，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([2, 2, -3, 3, 1, 2], [3, 2], 2, -3, 11, -13, 2, 5, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 2640e8e965ebc7137b6e4f41426dc3644122486d9c040e280c43956e820fad6b
- candidate record SHA-256: 74a5eca89ce68b6d7edec17713f73f2adb373a5873b0f98f24394f70b6f8b4ff
- semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac
- question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261024-r06-partial-differential-equation-0015.json)