# 第 11698 題：線性PDE切片 [返回所在分頁 59](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/59/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261024-r06-partial-differential-equation-foundations/#q-20261013-advance-20261024-r06-partial-differential-equation-0048) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0022-11698 · q-20261013-advance-20261024-r06-partial-differential-equation-0048 ## 原題與已知條件 明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-second-order-point-residual；資料={"coefficients":[10,0,-2,3,0,0],"principal":[2,0,3],"source":10,"x":0,"y":-2}。請依 [coefficients,principal,x,y,u_xx,u_xy,u_yy,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。 - G001 — 明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-second-order-point-residual；資料={"coefficients":[10,0,-2,3,0,0],"principal":[2,0,3],"source":10,"x":0,"y":-2}。請依 [coefficients,principal,x,y,u_xx,u_xy,u_yy,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-partial-differential-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-partial-differential-equation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 original coefficients=[10, 0, -2, 3, 0, 0];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2] 操作後 u(x,y)=(10)+(0)*x+(-2)*y+(3)*x^2+(0)*x*y+(0)*y^2 條件：無 六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。 步驟識別與依賴規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 u_xx constant := mul(2, 3) 操作後 u_xx constant = 6 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 u_yy constant := mul(2, 0) 操作後 u_yy constant = 0 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 u coefficients=[10, 0, -2, 3, 0, 0];u_x=c1+2*c3*x+c4*y;u_y=c2+c4*x+2*c5*y 操作後 u_xx=6;u_xy=0;u_yy=0 條件：無 以固定另一座標的切片規則逐項微分：x的一次項再微分成常數，xy交叉項只貢獻c4；這是多項式恆等式，不是由一般混偏導交換假設。 步驟識別與依賴規則：polynomial_second_partials_explicit_monomials · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 principal=[2, 0, 3];point=[0, -2] 操作後 operator=a*u_xx+b*u_xy+c*u_yy;not 2*b*u_xy 條件：無 固定混合項就是b*u_xy，不擅自改成常見另一慣例2b*u_xy；即使二階值在本多項式為常數，也保留題目的點角色。 步驟識別與依賴規則：second_order_declared_mixed_term · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 second order term0 := mul(2, 6) 操作後 second order term0 = 12 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 second order term1 := mul(0, 0) 操作後 second order term1 = 0 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 second order term2 := mul(3, 0) 操作後 second order term2 = 0 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 second order operator sum := sum(12, 0, 0) 操作後 second order operator sum = 12 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 second order signed residual := sub(12, 10) 操作後 second order signed residual = 2 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 query point=[0, -2];operator value=12;source=10;signed residual=2 操作後 satisfied at declared point=否;no general solution claim 條件：無 此欄回答指定點殘差是否為零。單點通過通常不證全域解，也不給解存在唯一、正則或適定性；全域恆等需另核完整符號殘差。 步驟識別與依賴規則：PDE_point_obligation_not_global_solution · 依賴：G001, S010 ## 逐步反向核對 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second order signed residual，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second order operator sum，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second order term2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second order term1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second order term0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u_yy constant，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u_xx constant，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([10, 0, -2, 3, 0, 0], [2, 0, 3], 0, -2, 6, 0, 0, 10, 2, 否) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: bd2144bf967ff684ac07a389c3aaabccaccf8a0c8aa09534fd46802eb83c08f5 - candidate record SHA-256: 4748db855a60c5a47b24ee08a70c7455638d97998bbc6ce010f962b37ed78866 - semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac - question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261024-r06-partial-differential-equation-0048.json)