# 第 11114 題：凸集合證書與反例 [返回所在分頁 56](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/56/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261024-r07-convex-set-foundations/#q-20261013-advance-20261024-r07-convex-set-0039) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0021-11114 · q-20261013-advance-20261024-r07-convex-set-0039 ## 原題與已知條件 量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-box-certificate；資料={"bounds":[-15,16,-14,17]}。請依 [bounds,universal_scope,convex] 欄序回答。 - G001 — 量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-box-certificate；資料={"bounds":[-15,16,-14,17]}。請依 [bounds,universal_scope,convex] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-convex-set](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-set/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 box coordinate0:closed bounds=[-15,16];arbitrary x,y in these bounds;arbitrary 0<=lambda<=1 操作後 lambda>=0;1-lambda>=0;x--15>=0;y--15>=0;16-x>=0;16-y>=0 條件：無 任取兩個區間成員與任意容許lambda，四個端點差都非負；上下界相等也合法。 步驟識別與依賴規則：universal_interval_arbitrary_members · 依賴：G001 S002 · implies操作前 z=lambda*x+(1-lambda)*y;lambda+(1-lambda)=1;bounds=[-15,16] 操作後 z--15=lambda*(x--15)+(1-lambda)*(y--15)>=0 條件：無 用權重和為1展開z減下界，成為兩個非負乘積之和；不是抽樣代值。 步驟識別與依賴規則：universal_interval_lower_identity · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 z=lambda*x+(1-lambda)*y;lambda+(1-lambda)=1;bounds=[-15,16] 操作後 16-z=lambda*(16-x)+(1-lambda)*(16-y)>=0 條件：無 同理上界減z也是非負和，因此同時有下界≤z≤上界。 步驟識別與依賴規則：universal_interval_upper_identity · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 box coordinate0:both symbolic slack identities hold for every chosen x,y,lambda 操作後 all x,y in [-15,16] and all lambda in [0,1] give z in [-15,16] 條件：無 任選的端點與lambda未加特殊限制，故可釋放所有量詞，得到整個閉區間凸性。 步驟識別與依賴規則：universal_interval_quantifier_discharge · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 box coordinate1:closed bounds=[-14,17];arbitrary x,y in these bounds;arbitrary 0<=lambda<=1 操作後 lambda>=0;1-lambda>=0;x--14>=0;y--14>=0;17-x>=0;17-y>=0 條件：無 任取兩個區間成員與任意容許lambda，四個端點差都非負；上下界相等也合法。 步驟識別與依賴規則：universal_interval_arbitrary_members · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 z=lambda*x+(1-lambda)*y;lambda+(1-lambda)=1;bounds=[-14,17] 操作後 z--14=lambda*(x--14)+(1-lambda)*(y--14)>=0 條件：無 用權重和為1展開z減下界，成為兩個非負乘積之和；不是抽樣代值。 步驟識別與依賴規則：universal_interval_lower_identity · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 z=lambda*x+(1-lambda)*y;lambda+(1-lambda)=1;bounds=[-14,17] 操作後 17-z=lambda*(17-x)+(1-lambda)*(17-y)>=0 條件：無 同理上界減z也是非負和，因此同時有下界≤z≤上界。 步驟識別與依賴規則：universal_interval_upper_identity · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 box coordinate1:both symbolic slack identities hold for every chosen x,y,lambda 操作後 all x,y in [-14,17] and all lambda in [0,1] give z in [-14,17] 條件：無 任選的端點與lambda未加特殊限制，故可釋放所有量詞，得到整個閉區間凸性。 步驟識別與依賴規則：universal_interval_quantifier_discharge · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 box bounds=[-15, 16, -14, 17];both coordinate interval certificates hold with the same arbitrary lambda 操作後 both coordinates remain in their intervals;whole closed box convex=是 條件：無 對相同任意lambda逐座標套區間證書，兩條件同時成立即仍在方盒；零寬度不例外。 步驟識別與依賴規則：box_coordinatewise_universal_conjunction · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([-15, 16, -14, 17], coordinatewise interval certificate for every lambda in [0,1], 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f97d4380ebafdf6deeed4f677c0b775be07cb17d6fa589f73f217ead39529359 - candidate record SHA-256: a3e179df2da5d1cadae7dc291af64cfa50cfb12febd20e040c8e6df00bf89d4b - semantic review receipt SHA-256: 47d23d3735987d68e27733b051bdfa80a3616d44fb223b82bf2e6c8e46d49258 - question-first witness SHA-256: a857db558000724020d2d5e815cb6bc3e2c9e2933df295bf33eb478d3c695139 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261024-r07-convex-set-0039.json)