# 第 11161 題：凸集合證書與反例 [返回所在分頁 56](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/56/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261024-r07-convex-set-foundations/#q-20261013-advance-20261024-r07-convex-set-0061) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0021-11161 · q-20261013-advance-20261024-r07-convex-set-0061 ## 原題與已知條件 量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-halfspace-combination；資料={"normal":[1,1],"bound":12,"left":[0,0],"right":[11,0],"lambda":[11,13]}。請依 [normal,bound,left,right,left_dot,right_dot,lambda,point,point_dot,inside] 欄序回答。 - G001 — 量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-halfspace-combination；資料={"normal":[1,1],"bound":12,"left":[0,0],"right":[11,0],"lambda":[11,13]}。請依 [normal,bound,left,right,left_dot,right_dot,lambda,point,point_dot,inside] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-convex-set](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-set/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 left endpoint dot term0 := mul(1, 0) 操作後 left endpoint dot term0 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 left endpoint dot term1 := mul(1, 0) 操作後 left endpoint dot term1 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 left endpoint dot sum := sum(0, 0) 操作後 left endpoint dot sum = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 right endpoint dot term0 := mul(1, 11) 操作後 right endpoint dot term0 = 11 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 right endpoint dot term1 := mul(1, 0) 操作後 right endpoint dot term1 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 right endpoint dot sum := sum(11, 0) 操作後 right endpoint dot sum = 11 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 normal=[1, 1];bound=12;left dot=0;right dot=11 操作後 both endpoints satisfy the closed halfspace inequality 條件：無 先核兩端點真的在半空間；不由要證的凸性倒推端點合格，法向量為零仍按同一不等式。 步驟識別與依賴規則：halfspace_endpoint_membership · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 halfspace point complementary weight := sub(1, 11/13) 操作後 halfspace point complementary weight = 2/13 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 halfspace point:raw lambda=[11, 13];lambda=11/13;one-minus-lambda=2/13 操作後 in_closed_unit_interval=是;lambda weights left 條件：無 lambda乘左端，1−lambda乘右端；lambda=0選右，1選左。區間外仍可算仿射式，但不是凸組合，不截斷。 步驟識別與依賴規則：two_point_direction_and_qualification · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 halfspace point:ordered vectors=[[0, 0], [11, 0]];aligned weights=[11/13, 2/13] 操作後 dimension=2;preserve duplicates and order 條件：無 保留向量順序、重複項與係數配對；同一座標加完所有向量的貢獻。 步驟識別與依賴規則：ordered_vector_weight_pairing · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 halfspace point coordinate0 term0 := mul(11/13, 0) 操作後 halfspace point coordinate0 term0 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 halfspace point coordinate0 term1 := mul(2/13, 11) 操作後 halfspace point coordinate0 term1 = 22/13 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 halfspace point coordinate0 sum := sum(0, 22/13) 操作後 halfspace point coordinate0 sum = 22/13 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 halfspace point coordinate1 term0 := mul(11/13, 0) 操作後 halfspace point coordinate1 term0 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 halfspace point coordinate1 term1 := mul(2/13, 0) 操作後 halfspace point coordinate1 term1 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 halfspace point coordinate1 sum := sum(0, 0) 操作後 halfspace point coordinate1 sum = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 combined point dot term0 := mul(1, 22/13) 操作後 combined point dot term0 = 22/13 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 combined point dot term1 := mul(1, 0) 操作後 combined point dot term1 = 0 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 combined point dot sum := sum(22/13, 0) 操作後 combined point dot sum = 22/13 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 halfspace bound slack := sub(12, 22/13) 操作後 halfspace bound slack = 134/13 條件：無 按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 normal dot z=22/13;endpoint dots=(0,11);lambda=11/13;bound=12 操作後 normal dot z=lambda*0+(1-lambda)*11<=12;inside=是 條件：無 內積線性使新點的值為兩端值的非負加權和，各≤bound且權重和1，故仍≤bound；這是完整代數理由，數值只是本題實例。 步驟識別與依賴規則：halfspace_linear_universal_reason · 依賴：G001, S020 ## 逐步反向核對 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace bound slack，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined point dot sum，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined point dot term1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined point dot term0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate1 sum，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate1 term1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate1 term0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate0 sum，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate0 term1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate0 term0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point complementary weight，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right endpoint dot sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right endpoint dot term1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right endpoint dot term0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left endpoint dot sum，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left endpoint dot term1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left endpoint dot term0，不以小數近似替代。 ## 結論 ([1, 1], 12, [0, 0], [11, 0], 0, 11, 11/13, [22/13, 0], 22/13, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 77cd1a4f45850a4f348f2c02b63b6eec1a27e3f5181cd25f0066fd84dbe8911f - candidate record SHA-256: 27851dd7c205ec04fe0bf0102f292cd5a62b9629ef0c3ca9723617b4ed4054d3 - semantic review receipt SHA-256: 47d23d3735987d68e27733b051bdfa80a3616d44fb223b82bf2e6c8e46d49258 - question-first witness SHA-256: a857db558000724020d2d5e815cb6bc3e2c9e2933df295bf33eb478d3c695139 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261024-r07-convex-set-0061.json)