# 第 11879 題：凸函數 [返回所在分頁 60](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/60/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-foundations/#q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0054) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0022-11879 · q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0054 ## 原題與已知條件 函數必須配合明示凸定義域。操作=convexfn-quadratic-universal-certificate；資料={"coefficients":[3,-9,0],"interval":[-5,6]}。請依 [coefficients,interval,nondegenerate,leading_coefficient,jensen_gap_formula,convex] 欄序回答。 - G001 — 函數必須配合明示凸定義域。操作=convexfn-quadratic-universal-certificate；資料={"coefficients":[3,-9,0],"interval":[-5,6]}。請依 [coefficients,interval,nondegenerate,leading_coefficient,jensen_gap_formula,convex] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-convex-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-function/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 declared interval record=[-5, 6] 操作後 ordered_nonempty=是;nondegenerate=是 條件：無 此非空區間協定用lower≤upper，非退化證書另需lower=0;6-z=lambda*(6-x)+(1-lambda)*(6-y)>=0 條件：無 兩個差額均是非負和，故lower≤z≤upper，對每對端點及每個lambda都成立，不用抽樣；端點和單點情況包含在內。 步驟識別與依賴規則：interval_all_segments_slack_identity · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 univariate quadratic coefficients=[3, -9, 0];order=[a,b,c] 操作後 f(t)=(3)*t^2+(-9)*t+(0) 條件：無 這裡按二次、一次、常數降冪排列，不是邊界限制多項式的常數在前次序；零首項保留。 步驟識別與依賴規則：quadratic_descending_coefficient_order · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 f(t)=(3)*t^2+(-9)*t+(0);z=lambda*x+(1-lambda)*y 操作後 rhs-lhs=(3)*(lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2) 條件：無 先展開Jensen兩邊，因權重和1，一次與常數項完全消去，只剩二次部分。 步驟識別與依賴規則：jensen_linear_and_constant_terms_cancel · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2 操作後 lambda*(1-lambda)*(x-y)^2;full gap=(3)*lambda*(1-lambda)*(x-y)^2 條件：無 展開平方再收集x²、xy、y²，分別得到lambda(1−lambda)、−2lambda(1−lambda)、lambda(1−lambda)，故是(x−y)²倍數，覆蓋所有實數端點。 步驟識別與依賴規則：jensen_gap_full_symbolic_factorization · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 interval=[-5, 6];nondegenerate=是;leading=3 操作後 qualified universal quadratic certificate=是 條件：無 若a≥0，lambda(1−lambda)與平方皆非負，故所有Jensen差非負。此題證書另要求非退化；單點或反向紀錄的No不是函數在單點上非凸。 步驟識別與依賴規則：quadratic_global_sign_and_nondegenerate_guard · 依賴：G001, S005 ## 逐步反向核對 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([3, -9, 0], [-5, 6], 是, 3, rhs-lhs=a*lambda*(1-lambda)*(x-y)^2, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c99e6a0b8f227483a2f8dfb66159e4648df7830b5087c211c5e059d7058afc2f - candidate record SHA-256: dd0d5d9fecc8251a304f6ac433f2e2a70ec388089a2efd17d81e29d5decc1a33 - semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac - question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0054.json)