# 第 11891 題：凸函數 [返回所在分頁 60](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/60/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-foundations/#q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0066) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0022-11891 · q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0066 ## 原題與已知條件 函數必須配合明示凸定義域。操作=convexfn-quadratic-universal-certificate；資料={"coefficients":[-1,3,-2],"interval":[-17,18]}。請依 [coefficients,interval,nondegenerate,leading_coefficient,jensen_gap_formula,convex] 欄序回答。 - G001 — 函數必須配合明示凸定義域。操作=convexfn-quadratic-universal-certificate；資料={"coefficients":[-1,3,-2],"interval":[-17,18]}。請依 [coefficients,interval,nondegenerate,leading_coefficient,jensen_gap_formula,convex] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-convex-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-function/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 declared interval record=[-17, 18] 操作後 ordered_nonempty=是;nondegenerate=是 條件：無 此非空區間協定用lower≤upper，非退化證書另需lower=0;18-z=lambda*(18-x)+(1-lambda)*(18-y)>=0 條件：無 兩個差額均是非負和，故lower≤z≤upper，對每對端點及每個lambda都成立，不用抽樣；端點和單點情況包含在內。 步驟識別與依賴規則：interval_all_segments_slack_identity · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 univariate quadratic coefficients=[-1, 3, -2];order=[a,b,c] 操作後 f(t)=(-1)*t^2+(3)*t+(-2) 條件：無 這裡按二次、一次、常數降冪排列，不是邊界限制多項式的常數在前次序；零首項保留。 步驟識別與依賴規則：quadratic_descending_coefficient_order · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 f(t)=(-1)*t^2+(3)*t+(-2);z=lambda*x+(1-lambda)*y 操作後 rhs-lhs=(-1)*(lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2) 條件：無 先展開Jensen兩邊，因權重和1，一次與常數項完全消去，只剩二次部分。 步驟識別與依賴規則：jensen_linear_and_constant_terms_cancel · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2 操作後 lambda*(1-lambda)*(x-y)^2;full gap=(-1)*lambda*(1-lambda)*(x-y)^2 條件：無 展開平方再收集x²、xy、y²，分別得到lambda(1−lambda)、−2lambda(1−lambda)、lambda(1−lambda)，故是(x−y)²倍數，覆蓋所有實數端點。 步驟識別與依賴規則：jensen_gap_full_symbolic_factorization · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 negative quadratic endpoint difference := sub(-17, 18) 操作後 negative quadratic endpoint difference = -35 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 negative quadratic endpoint square := mul(-35, -35) 操作後 negative quadratic endpoint square = 1225 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 negative quadratic weighted square := mul(-1, 1225) 操作後 negative quadratic weighted square = -1225 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 negative quadratic midpoint Jensen gap := div(-1225, 4) 操作後 negative quadratic midpoint Jensen gap = -1225/4 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 x=-17;y=18;lambda=1/2;gap=-1225/4 操作後 negative Jensen gap refutes convexity on this nondegenerate interval 條件：無 非退化區間有兩個不同端點，取中點權重得到嚴格負差，是精確反例而非只引用係數口訣。 步驟識別與依賴規則：negative_leading_coefficient_actual_counterexample · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 interval=[-17, 18];nondegenerate=是;leading=-1 操作後 qualified universal quadratic certificate=否 條件：無 若a≥0，lambda(1−lambda)與平方皆非負，故所有Jensen差非負。此題證書另要求非退化；單點或反向紀錄的No不是函數在單點上非凸。 步驟識別與依賴規則：quadratic_global_sign_and_nondegenerate_guard · 依賴：G001, S010 ## 逐步反向核對 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 negative quadratic midpoint Jensen gap，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 negative quadratic weighted square，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 negative quadratic endpoint square，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 negative quadratic endpoint difference，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([-1, 3, -2], [-17, 18], 是, -1, rhs-lhs=a*lambda*(1-lambda)*(x-y)^2, 否) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1056b428d068f7efb78cf753a18c83dd1b4d681047d6545ef6c1ae7fd48981e6 - candidate record SHA-256: c8ea019f74a06ba57555cb2bc588289e8accdb79811e5400db53939b60eef09a - semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac - question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0066.json)