# 第 11859 題：凸函數 [返回所在分頁 60](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/60/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-foundations/#q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0084) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0022-11859 · q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0084 ## 原題與已知條件 函數必須配合明示凸定義域。操作=convexfn-jensen-instance-audit；資料={"coefficients":[0,-4,-2],"interval":[-5,5],"x":[1,1],"y":[-2,1],"lambda":[9,11]}。請依 [coefficients,interval,x,y,lambda,point,lhs,rhs,gap,passes,scope] 欄序回答。 - G001 — 函數必須配合明示凸定義域。操作=convexfn-jensen-instance-audit；資料={"coefficients":[0,-4,-2],"interval":[-5,5],"x":[1,1],"y":[-2,1],"lambda":[9,11]}。請依 [coefficients,interval,x,y,lambda,point,lhs,rhs,gap,passes,scope] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-convex-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-function/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 declared interval record=[-5, 5] 操作後 ordered_nonempty=是;nondegenerate=是 條件：無 此非空區間協定用lower≤upper，非退化證書另需lower=0;5-z=lambda*(5-x)+(1-lambda)*(5-y)>=0 條件：無 兩個差額均是非負和，故lower≤z≤upper，對每對端點及每個lambda都成立，不用抽樣；端點和單點情況包含在內。 步驟識別與依賴規則：interval_all_segments_slack_identity · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 univariate quadratic coefficients=[0, -4, -2];order=[a,b,c] 操作後 f(t)=(0)*t^2+(-4)*t+(-2) 條件：無 這裡按二次、一次、常數降冪排列，不是邊界限制多項式的常數在前次序；零首項保留。 步驟識別與依賴規則：quadratic_descending_coefficient_order · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 f(t)=(0)*t^2+(-4)*t+(-2);z=lambda*x+(1-lambda)*y 操作後 rhs-lhs=(0)*(lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2) 條件：無 先展開Jensen兩邊，因權重和1，一次與常數項完全消去，只剩二次部分。 步驟識別與依賴規則：jensen_linear_and_constant_terms_cancel · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2 操作後 lambda*(1-lambda)*(x-y)^2;full gap=(0)*lambda*(1-lambda)*(x-y)^2 條件：無 展開平方再收集x²、xy、y²，分別得到lambda(1−lambda)、−2lambda(1−lambda)、lambda(1−lambda)，故是(x−y)²倍數，覆蓋所有實數端點。 步驟識別與依賴規則：jensen_gap_full_symbolic_factorization · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Jensen complementary weight := sub(1, 9/11) 操作後 Jensen complementary weight = 2/11 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Jensen weighted x := mul(9/11, 1) 操作後 Jensen weighted x = 9/11 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Jensen weighted y := mul(2/11, -2) 操作後 Jensen weighted y = -4/11 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Jensen weighted input := sum(9/11, -4/11) 操作後 Jensen weighted input = 5/11 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Jensen lhs point squared := mul(5/11, 5/11) 操作後 Jensen lhs point squared = 25/121 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Jensen lhs quadratic term := mul(0, 25/121) 操作後 Jensen lhs quadratic term = 0 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Jensen lhs linear term := mul(-4, 5/11) 操作後 Jensen lhs linear term = -20/11 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Jensen lhs polynomial value := sum(0, -20/11, -2) 操作後 Jensen lhs polynomial value = -42/11 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Jensen left endpoint point squared := mul(1, 1) 操作後 Jensen left endpoint point squared = 1 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Jensen left endpoint quadratic term := mul(0, 1) 操作後 Jensen left endpoint quadratic term = 0 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Jensen left endpoint linear term := mul(-4, 1) 操作後 Jensen left endpoint linear term = -4 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Jensen left endpoint polynomial value := sum(0, -4, -2) 操作後 Jensen left endpoint polynomial value = -6 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Jensen right endpoint point squared := mul(-2, -2) 操作後 Jensen right endpoint point squared = 4 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Jensen right endpoint quadratic term := mul(0, 4) 操作後 Jensen right endpoint quadratic term = 0 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Jensen right endpoint linear term := mul(-4, -2) 操作後 Jensen right endpoint linear term = 8 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Jensen right endpoint polynomial value := sum(0, 8, -2) 操作後 Jensen right endpoint polynomial value = 6 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Jensen weighted left value := mul(9/11, -6) 操作後 Jensen weighted left value = -54/11 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Jensen weighted right value := mul(2/11, 6) 操作後 Jensen weighted right value = 12/11 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Jensen rhs := sum(-54/11, 12/11) 操作後 Jensen rhs = -42/11 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Jensen rhs minus lhs := sub(-42/11, -42/11) 操作後 Jensen rhs minus lhs = 0 條件：無 依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 qualified x=1;y=-2;lambda=9/11;lhs=-42/11;rhs=-42/11;gap=0 操作後 Jensen instance passes=是;scope=single_instance_only 條件：無 負差給一個合法端點與權重的反例即足以否證；非負只通過這一例，尤其lambda=0或x=y可使非凸二次式也通過。 步驟識別與依賴規則：one_Jensen_instance_not_universal_positive_proof · 依賴：G001, S025 ## 逐步反向核對 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen rhs minus lhs，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen rhs，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen weighted right value，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen weighted left value，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen right endpoint polynomial value，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen right endpoint linear term，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen right endpoint quadratic term，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen right endpoint point squared，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen left endpoint polynomial value，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen left endpoint linear term，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen left endpoint quadratic term，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen left endpoint point squared，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen lhs polynomial value，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen lhs linear term，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen lhs quadratic term，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen lhs point squared，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen weighted input，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen weighted y，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen weighted x，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen complementary weight，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([0, -4, -2], [-5, 5], 1, -2, 9/11, 5/11, -42/11, -42/11, 0, 是, single_instance_only) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 075384c92b1463842ce225a0e548ea54f475e8002e8a02cef17c01a448f8adb0 - candidate record SHA-256: b420dfbfe44d3cc1efd0ab4f6ea517d97df766beccbc29c0035c8b3d3d9f0f20 - semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac - question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0084.json)