# 第 11986 題：凸最佳化問題

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0022-11986 · q-20261013-advance-20261025-r03-convex-optimization-problem-0011



## 原題與已知條件

凸目標資格與凸可行域資格分開。操作=convexopt-problem-qualification；資料={"coefficients":[-1,-2,0],"interval":[-12,13]}。請依 [coefficients,interval,objective_convex,feasible_set_convex,qualified,scope] 欄序回答。


- G001 — 凸目標資格與凸可行域資格分開。操作=convexopt-problem-qualification；資料={"coefficients":[-1,-2,0],"interval":[-12,13]}。請依 [coefficients,interval,objective_convex,feasible_set_convex,qualified,scope] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-convex-optimization-problem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-optimization-problem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

declared interval record=[-12, 13]

操作後

ordered_nonempty=是;nondegenerate=是

條件：無

此非空區間協定用lower≤upper，非退化證書另需lower<upper。反向紀錄只是資格不合，不是把抽象空集判成非凸；單點區間本身仍凸。

步驟識別與依賴規則：interval_certificate_qualification_not_empty_set_nonconvexity · 依賴：G001





S002 · implies操作前

univariate quadratic coefficients=[-1, -2, 0];order=[a,b,c]

操作後

f(t)=(-1)*t^2+(-2)*t+(0)

條件：無

這裡按二次、一次、常數降冪排列，不是邊界限制多項式的常數在前次序；零首項保留。

步驟識別與依賴規則：quadratic_descending_coefficient_order · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

f(t)=(-1)*t^2+(-2)*t+(0);z=lambda*x+(1-lambda)*y

操作後

rhs-lhs=(-1)*(lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2)

條件：無

先展開Jensen兩邊，因權重和1，一次與常數項完全消去，只剩二次部分。

步驟識別與依賴規則：jensen_linear_and_constant_terms_cancel · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2

操作後

lambda*(1-lambda)*(x-y)^2;full gap=(-1)*lambda*(1-lambda)*(x-y)^2

條件：無

展開平方再收集x²、xy、y²，分別得到lambda(1−lambda)、−2lambda(1−lambda)、lambda(1−lambda)，故是(x−y)²倍數，覆蓋所有實數端點。

步驟識別與依賴規則：jensen_gap_full_symbolic_factorization · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

arbitrary x,y in [-12,13];0<=lambda<=1;z=lambda*x+(1-lambda)*y

操作後

z--12=lambda*(x--12)+(1-lambda)*(y--12)>=0;13-z=lambda*(13-x)+(1-lambda)*(13-y)>=0

條件：無

兩個差額均是非負和，故lower≤z≤upper，對每對端點及每個lambda都成立，不用抽樣；端點和單點情況包含在內。

步驟識別與依賴規則：interval_all_segments_slack_identity · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

global quadratic leading coefficient=-1;interval record=[-12, 13]

操作後

global objective certificate=否;feasible interval certificate=是;qualified=否

條件：無

目標旗標是全實數二次函數的a≥0準則：a<0取0、1與半權重便有負差。域旗標另核非空有序區間。兩者合格只說此凸優化問題資格，不證有解、唯一、KKT或求解器收斂；不合全域準則也不判所有限制單點問題。

步驟識別與依賴規則：optimization_two_qualifications_not_solver · 依賴：G001, S005









## 逐步反向核對


- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([-1, -2, 0], [-12, 13], 否, 是, 否, qualification_only_no_solution_claim)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 5afd4079ccd7022637921e025b58f27a9946271104ee6e63334501b28172446d
- candidate record SHA-256: 4ebf34d6e3dee41737385d791b1d22cf1d338217a5431c3b31bc14ac35529383
- semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac
- question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261025-r03-convex-optimization-problem-0011.json)