# 第 33299 題：基底密度 [返回所在分頁 167](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/167/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261025-r04-linear-independence-basis-foundations/#q-20261013-advance-20261025-r04-linear-independence-basis-0049) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0065-33299 · q-20261013-advance-20261025-r04-linear-independence-basis-0049 ## 原題與已知條件 只深化既有有限R2基底語義。操作=basisdeep-zero-vector-dependence-certificate；資料={"vectors":[[1,11],[1,1],[0,0]],"zero_index":2}。請依 [vectors,zero_index,selected_vector,is_zero,coefficients,dependence_certificate] 欄序回答。 - G001 — 只深化既有有限R2基底語義。操作=basisdeep-zero-vector-dependence-certificate；資料={"vectors":[[1,11],[1,1],[0,0]],"zero_index":2}。請依 [vectors,zero_index,selected_vector,is_zero,coefficients,dependence_certificate] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-independence-basis](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-independence-basis/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod25-basisdeep-zero-vector-dependence-certificate, basisdeep-zero-vector-dependence-certificate, R2_basis_density_without_dimension_extension, []] 操作後 derived = [[vectors, index, selected, is_zero, nontrivial_coefficients, THIS_certificate]] 條件：無 MOD25用LOCAL hyphen及具名domain，矩陣legacy用underscore/reals，BASElogic不補domain/op。輸出tuple/矩陣/數字欄與fraction文字各依來源，不一律保/1；原中英/AST/status不變。 步驟識別與依賴規則：R65_SOURCE_bank_keys_operation_domain_ordered_output_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [zero certificate ORIGINAL vector0, [1, 11]] 操作後 derived = [[1, 11]] 條件：無 raw vector非空、1..6分量且每值±1000；只有R²座標題另驗2維，不對其他families憑domain名字強加2維。 步驟識別與依賴規則：Basis_RAW_vector_1to6_components_bound1000 · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [zero certificate ORIGINAL vector1, [1, 1]] 操作後 derived = [[1, 1]] 條件：無 raw vector非空、1..6分量且每值±1000；只有R²座標題另驗2維，不對其他families憑domain名字強加2維。 步驟識別與依賴規則：Basis_RAW_vector_1to6_components_bound1000 · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [zero certificate ORIGINAL vector2, [0, 0]] 操作後 derived = [[0, 0]] 條件：無 raw vector非空、1..6分量且每值±1000；只有R²座標題另驗2維，不對其他families憑domain名字強加2維。 步驟識別與依賴規則：Basis_RAW_vector_1to6_components_bound1000 · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term := mul(0, 1) 操作後 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term := mul(0, 1) 操作後 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector2 coordinate0 weighted term := mul(1, 0) 操作後 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector2 coordinate0 weighted term = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL coordinate0 all terms sum := sum(0, 0, 0) 操作後 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL coordinate0 all terms sum = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [zero proposed nontrivial relation, 0, [[1, 11], [1, 1], [0, 0]], [0, 0, 1]] 操作後 derived = [[0, 0, 0], 0] 條件：無 每個coordinate保全部coeff*vector分量，再加總；不對衍生重構值重套raw vector/係數界。 步驟識別與依賴規則：Basis_EACH_coordinate_complete_linear_combination_no_derived_raw_cap · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term := mul(0, 11) 操作後 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term := mul(0, 1) 操作後 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector2 coordinate1 weighted term := mul(1, 0) 操作後 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector2 coordinate1 weighted term = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL coordinate1 all terms sum := sum(0, 0, 0) 操作後 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL coordinate1 all terms sum = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [zero proposed nontrivial relation, 1, [[1, 11], [1, 1], [0, 0]], [0, 0, 1]] 操作後 derived = [[0, 0, 0], 0] 條件：無 每個coordinate保全部coeff*vector分量，再加總；不對衍生重構值重套raw vector/係數界。 步驟識別與依賴規則：Basis_EACH_coordinate_complete_linear_combination_no_derived_raw_cap · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [[[1, 11], [1, 1], [0, 0]], 2, [0, 0]] 操作後 derived = [[0, 0, 1], [0, 0], 是] 條件：無 coeff在此index為1，其餘0，所以非全0且組合恰等selected。selected零才給依賴證書；No不證整個family獨立，其他依賴可能仍存在。 步驟識別與依賴規則：Basis_ZERO_selected_vector_nontrivial_e_index_relation_ONLY_THIS_certificate · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL coordinate1 all terms sum，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector2 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL coordinate0 all terms sum，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector2 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero proposed nontrivial relation ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 ## 結論 ([[1, 11], [1, 1], [0, 0]], 2, [0, 0], 是, [0, 0, 1], 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4a3994bd24b5701c779464c616a727b878ec2efe7bdcedb7be421d0848e74dc7 - candidate record SHA-256: da24baee42ebc3a5193d378567318f32e651ed68b8d4da7035523c46c6372f49 - semantic review receipt SHA-256: 92bb5fa69818f30cd2806d74a26bd5ede6c48c80d2ecc3d31a5130d4ad7666b6 - question-first witness SHA-256: 012b5aa905280d616be49aa9462daaa73bf7f6247d0a796e78bc5bcd24e6bd00 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261025-r04-linear-independence-basis-0049.json)