# 第 33244 題：基底密度 [返回所在分頁 167](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/167/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261025-r04-linear-independence-basis-foundations/#q-20261013-advance-20261025-r04-linear-independence-basis-0094) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0065-33244 · q-20261013-advance-20261025-r04-linear-independence-basis-0094 ## 原題與已知條件 只深化既有有限R2基底語義。操作=basisdeep-r2-coordinate-uniqueness-audit；資料={"basis":[[1,1],[0,1]],"target":[6,7],"first_coordinates":[6,1],"second_coordinates":[6,1]}。請依 [basis,target,det,first,first_target,first_matches,second,second_target,second_matches,uniqueness_consistent] 欄序回答。 - G001 — 只深化既有有限R2基底語義。操作=basisdeep-r2-coordinate-uniqueness-audit；資料={"basis":[[1,1],[0,1]],"target":[6,7],"first_coordinates":[6,1],"second_coordinates":[6,1]}。請依 [basis,target,det,first,first_target,first_matches,second,second_target,second_matches,uniqueness_consistent] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-independence-basis](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-independence-basis/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod25-basisdeep-r2-coordinate-uniqueness-audit, basisdeep-r2-coordinate-uniqueness-audit, R2_basis_density_without_dimension_extension, []] 操作後 derived = [[basis, target, D, first, reconstruction1, match1, second, reconstruction2, match2, implication]] 條件：無 MOD25用LOCAL hyphen及具名domain，矩陣legacy用underscore/reals，BASElogic不補domain/op。輸出tuple/矩陣/數字欄與fraction文字各依來源，不一律保/1；原中英/AST/status不變。 步驟識別與依賴規則：R65_SOURCE_bank_keys_operation_domain_ordered_output_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [ordered R2 basis COLUMNS vector0, [1, 1]] 操作後 derived = [[1, 1]] 條件：無 raw vector非空、1..6分量且每值±1000；只有R²座標題另驗2維，不對其他families憑domain名字強加2維。 步驟識別與依賴規則：Basis_RAW_vector_1to6_components_bound1000 · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [ordered R2 basis COLUMNS vector1, [0, 1]] 操作後 derived = [[0, 1]] 條件：無 raw vector非空、1..6分量且每值±1000；只有R²座標題另驗2維，不對其他families憑domain名字強加2維。 步驟識別與依賴規則：Basis_RAW_vector_1to6_components_bound1000 · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [R2 target, [6, 7]] 操作後 derived = [[6, 7]] 條件：無 raw vector非空、1..6分量且每值±1000；只有R²座標題另驗2維，不對其他families憑domain名字強加2維。 步驟識別與依賴規則：Basis_RAW_vector_1to6_components_bound1000 · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 R2 ORIGINAL b1x times b2y := mul(1, 1) 操作後 R2 ORIGINAL b1x times b2y = 1 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 R2 ORIGINAL b2x times b1y := mul(0, 1) 操作後 R2 ORIGINAL b2x times b1y = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 R2 ORIGINAL signed column determinant := sub(1, 0) 操作後 R2 ORIGINAL signed column determinant = 1 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b2y := mul(6, 1) 操作後 R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b2y = 6 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 R2 true coordinate ORIGINAL b2x times targety := mul(0, 7) 操作後 R2 true coordinate ORIGINAL b2x times targety = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 R2 true coordinate ORIGINAL first numerator := sub(6, 0) 操作後 R2 true coordinate ORIGINAL first numerator = 6 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 R2 true coordinate ORIGINAL b1x times targety := mul(1, 7) 操作後 R2 true coordinate ORIGINAL b1x times targety = 7 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b1y := mul(6, 1) 操作後 R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b1y = 6 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 R2 true coordinate ORIGINAL second numerator := sub(7, 6) 操作後 R2 true coordinate ORIGINAL second numerator = 1 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [R2 source helper TRUEcoordinate0, RAW-pair, [6, 1], [], 6, 1] 操作後 derived = [6, 1, 6] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 R2 source helper TRUEcoordinate0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator := div(6, 1) 操作後 R2 source helper TRUEcoordinate0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator = 6 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [R2 source helper TRUEcoordinate1, RAW-pair, [1, 1], [], 1, 1] 操作後 derived = [1, 1, 1] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 R2 source helper TRUEcoordinate1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator := div(1, 1) 操作後 R2 source helper TRUEcoordinate1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator = 1 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term := mul(6, 1) 操作後 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term = 6 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term := mul(1, 0) 操作後 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum := sum(6, 0) 操作後 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum = 6 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [R2 FIRST integer coordinate list, 0, [[1, 1], [0, 1]], [6, 1]] 操作後 derived = [[6, 0], 6] 條件：無 每個coordinate保全部coeff*vector分量，再加總；不對衍生重構值重套raw vector/係數界。 步驟識別與依賴規則：Basis_EACH_coordinate_complete_linear_combination_no_derived_raw_cap · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term := mul(6, 1) 操作後 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term = 6 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term := mul(1, 1) 操作後 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term = 1 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum := sum(6, 1) 操作後 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum = 7 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [R2 FIRST integer coordinate list, 1, [[1, 1], [0, 1]], [6, 1]] 操作後 derived = [[6, 1], 7] 條件：無 每個coordinate保全部coeff*vector分量，再加總；不對衍生重構值重套raw vector/係數界。 步驟識別與依賴規則：Basis_EACH_coordinate_complete_linear_combination_no_derived_raw_cap · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term := mul(6, 1) 操作後 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term = 6 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term := mul(1, 0) 操作後 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum := sum(6, 0) 操作後 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum = 6 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 source roles = [R2 SECOND integer coordinate list, 0, [[1, 1], [0, 1]], [6, 1]] 操作後 derived = [[6, 0], 6] 條件：無 每個coordinate保全部coeff*vector分量，再加總；不對衍生重構值重套raw vector/係數界。 步驟識別與依賴規則：Basis_EACH_coordinate_complete_linear_combination_no_derived_raw_cap · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term := mul(6, 1) 操作後 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term = 6 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term := mul(1, 1) 操作後 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term = 1 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum := sum(6, 1) 操作後 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum = 7 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 source roles = [R2 SECOND integer coordinate list, 1, [[1, 1], [0, 1]], [6, 1]] 操作後 derived = [[6, 1], 7] 條件：無 每個coordinate保全部coeff*vector分量，再加總；不對衍生重構值重套raw vector/係數界。 步驟識別與依賴規則：Basis_EACH_coordinate_complete_linear_combination_no_derived_raw_cap · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 source roles = [[[1, 1], [0, 1]], [6, 7], 1] 操作後 derived = [[6, 1], [6, 1], [6, 7], 是, [6, 1], [6, 7], 是, 是] 條件：無 basis是有序column basis，D非0才有唯一座標；來源helper即使不輸出真座標也必須過rational運算界。兩組提交是integer coords，逐組重構；最後是「兩組都對⇒相等」，若有一組不對，True不認證兩組皆有效。 步驟識別與依賴規則：Basis_R2_nonzero_column_basis_source_TRUEcoordinate_gate_and_conditional_uniqueness · 依賴：G001, S033 ## 逐步反向核對 - S034 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S033 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 source helper TRUEcoordinate1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 source helper TRUEcoordinate0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL second numerator，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b1y，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL b1x times targety，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL first numerator，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL b2x times targety，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b2y，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 ORIGINAL signed column determinant，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 ORIGINAL b2x times b1y，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 ORIGINAL b1x times b2y，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 ## 結論 ([[1, 1], [0, 1]], [6, 7], 1, [6, 1], [6, 7], 是, [6, 1], [6, 7], 是, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: eda98e9509f683bdf316b892144f633be2a4a0b8a01a08e9bbd373d7e273607b - candidate record SHA-256: 1ded2924a5b4fa5cf966af083a52212ac406ac78b41b4fa622645534df183bd1 - semantic review receipt SHA-256: 92bb5fa69818f30cd2806d74a26bd5ede6c48c80d2ecc3d31a5130d4ad7666b6 - question-first witness SHA-256: 012b5aa905280d616be49aa9462daaa73bf7f6247d0a796e78bc5bcd24e6bd00 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261025-r04-linear-independence-basis-0094.json)