# 第 33372 題：有限Markov密度 [返回所在分頁 167](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/167/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261025-r06-finite-markov-chain-foundations/#q-20261013-advance-20261025-r06-finite-markov-chain-0047) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0065-33372 · q-20261013-advance-20261025-r06-finite-markov-chain-0047 ## 原題與已知條件 精確有限時間齊次row-stochastic kernel。操作=markovdeep-n-step-entry；資料={"transition":[[[2,5],[3,5]],[[3,4],[1,4]]],"from":1,"to":0,"steps":2}。請依 [from,to,steps,power_matrix,entry] 欄序回答。 - G001 — 精確有限時間齊次row-stochastic kernel。操作=markovdeep-n-step-entry；資料={"transition":[[[2,5],[3,5]],[[3,4],[1,4]]],"from":1,"to":0,"steps":2}。請依 [from,to,steps,power_matrix,entry] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-markov-chain](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-markov-chain/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod25-markovdeep-n-step-entry, markovdeep-n-step-entry, Finite_exact_Markov_density, []] 操作後 derived = [[from, to, steps, power_matrix, entry]] 條件：無 MOD25用LOCAL hyphen及具名domain，矩陣legacy用underscore/reals，BASElogic不補domain/op。輸出tuple/矩陣/數字欄與fraction文字各依來源，不一律保/1；原中英/AST/status不變。 步驟識別與依賴規則：R65_SOURCE_bank_keys_operation_domain_ordered_output_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [Markov RAW P row0 column0, RAW-pair, [2, 5], [], 2, 5] 操作後 derived = [2, 5, 2/5] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Markov RAW P row0 column0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator := div(2, 5) 操作後 Markov RAW P row0 column0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator = 2/5 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Markov RAW P row0 column1, RAW-pair, [3, 5], [], 3, 5] 操作後 derived = [3, 5, 3/5] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Markov RAW P row0 column1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator := div(3, 5) 操作後 Markov RAW P row0 column1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator = 3/5 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [Markov RAW row0 normalization through column0, radd, [[0, 1], [2, 5]], [1], 2, 5] 操作後 derived = [2, 5, 2/5] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Markov RAW row0 normalization through column0 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 2/5) 操作後 Markov RAW row0 normalization through column0 ORIGINAL exact rational sum = 2/5 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [Markov RAW row0 normalization through column1, radd, [[2, 5], [3, 5]], [5], 5, 5] 操作後 derived = [1, 1, 1] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Markov RAW row0 normalization through column1 ORIGINAL exact rational sum := sum(2/5, 3/5) 操作後 Markov RAW row0 normalization through column1 ORIGINAL exact rational sum = 1 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [Markov RAW P row1 column0, RAW-pair, [3, 4], [], 3, 4] 操作後 derived = [3, 4, 3/4] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Markov RAW P row1 column0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator := div(3, 4) 操作後 Markov RAW P row1 column0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator = 3/4 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [Markov RAW P row1 column1, RAW-pair, [1, 4], [], 1, 4] 操作後 derived = [1, 4, 1/4] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Markov RAW P row1 column1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator := div(1, 4) 操作後 Markov RAW P row1 column1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator = 1/4 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [Markov RAW row1 normalization through column0, radd, [[0, 1], [3, 4]], [1], 3, 4] 操作後 derived = [3, 4, 3/4] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Markov RAW row1 normalization through column0 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 3/4) 操作後 Markov RAW row1 normalization through column0 ORIGINAL exact rational sum = 3/4 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [Markov RAW row1 normalization through column1, radd, [[3, 4], [1, 4]], [4], 4, 4] 操作後 derived = [1, 1, 1] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Markov RAW row1 normalization through column1 ORIGINAL exact rational sum := sum(3/4, 1/4) 操作後 Markov RAW row1 normalization through column1 ORIGINAL exact rational sum = 1 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [[[[2, 5], [3, 5]], [[3, 4], [1, 4]]]] 操作後 derived = [2, [[2/5, 3/5], [3/4, 1/4]]] 條件：無 全部raw rational先過界、sign/gcd後非負，各row精確sum1，row=current/column=next固定。steps0或路徑prob0也不能略過unused cells。 步驟識別與依賴規則：Markov_FULL_RAW_kernel_ALL_cells_row_stochastic_fixed_state_order · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [2, 2] 操作後 derived = [[[1, 0], [0, 1]]] 條件：無 P0是identity，之後按原state順序逐次右乘P；保source每個dot的middle順序與rational運算界，不是平穩或極限證明。 步驟識別與依賴規則：Markov_ZERO_step_identity_then_fixed_RIGHT_multiplication · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry0,0 middle0 product, rmul, [[1, 1], [2, 5]], [1, 1], 2, 5] 操作後 derived = [2, 5, 2/5] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Markov power1 entry0,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product := mul(1, 2/5) 操作後 Markov power1 entry0,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product = 2/5 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry0,0 through middle0, radd, [[0, 1], [2, 5]], [1], 2, 5] 操作後 derived = [2, 5, 2/5] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Markov power1 entry0,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 2/5) 操作後 Markov power1 entry0,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum = 2/5 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry0,0 middle1 product, rmul, [[0, 1], [3, 4]], [4, 1], 0, 1] 操作後 derived = [0, 1, 0] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Markov power1 entry0,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product := mul(0, 3/4) 操作後 Markov power1 entry0,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry0,0 through middle1, radd, [[2, 5], [0, 1]], [1], 2, 5] 操作後 derived = [2, 5, 2/5] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Markov power1 entry0,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum := sum(2/5, 0) 操作後 Markov power1 entry0,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum = 2/5 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry0,1 middle0 product, rmul, [[1, 1], [3, 5]], [1, 1], 3, 5] 操作後 derived = [3, 5, 3/5] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Markov power1 entry0,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product := mul(1, 3/5) 操作後 Markov power1 entry0,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product = 3/5 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry0,1 through middle0, radd, [[0, 1], [3, 5]], [1], 3, 5] 操作後 derived = [3, 5, 3/5] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Markov power1 entry0,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 3/5) 操作後 Markov power1 entry0,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum = 3/5 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry0,1 middle1 product, rmul, [[0, 1], [1, 4]], [4, 1], 0, 1] 操作後 derived = [0, 1, 0] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Markov power1 entry0,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product := mul(0, 1/4) 操作後 Markov power1 entry0,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry0,1 through middle1, radd, [[3, 5], [0, 1]], [1], 3, 5] 操作後 derived = [3, 5, 3/5] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Markov power1 entry0,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum := sum(3/5, 0) 操作後 Markov power1 entry0,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum = 3/5 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry1,0 middle0 product, rmul, [[0, 1], [2, 5]], [5, 1], 0, 1] 操作後 derived = [0, 1, 0] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Markov power1 entry1,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product := mul(0, 2/5) 操作後 Markov power1 entry1,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry1,0 through middle0, radd, [[0, 1], [0, 1]], [1], 0, 1] 操作後 derived = [0, 1, 0] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Markov power1 entry1,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 0) 操作後 Markov power1 entry1,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry1,0 middle1 product, rmul, [[1, 1], [3, 4]], [1, 1], 3, 4] 操作後 derived = [3, 4, 3/4] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Markov power1 entry1,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product := mul(1, 3/4) 操作後 Markov power1 entry1,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product = 3/4 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry1,0 through middle1, radd, [[0, 1], [3, 4]], [1], 3, 4] 操作後 derived = [3, 4, 3/4] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Markov power1 entry1,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 3/4) 操作後 Markov power1 entry1,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum = 3/4 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry1,1 middle0 product, rmul, [[0, 1], [3, 5]], [5, 1], 0, 1] 操作後 derived = [0, 1, 0] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Markov power1 entry1,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product := mul(0, 3/5) 操作後 Markov power1 entry1,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry1,1 through middle0, radd, [[0, 1], [0, 1]], [1], 0, 1] 操作後 derived = [0, 1, 0] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Markov power1 entry1,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 0) 操作後 Markov power1 entry1,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum = 0 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry1,1 middle1 product, rmul, [[1, 1], [1, 4]], [1, 1], 1, 4] 操作後 derived = [1, 4, 1/4] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Markov power1 entry1,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product := mul(1, 1/4) 操作後 Markov power1 entry1,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product = 1/4 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 source roles = [Markov power1 entry1,1 through middle1, radd, [[0, 1], [1, 4]], [1], 1, 4] 操作後 derived = [1, 4, 1/4] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Markov power1 entry1,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 1/4) 操作後 Markov power1 entry1,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum = 1/4 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 source roles = [1, [[1, 0], [0, 1]], [[2/5, 3/5], [3/4, 1/4]]] 操作後 derived = [[[2/5, 3/5], [3/4, 1/4]]] 條件：無 全矩陣所有entries都由完整dot products累加；不是只算詢問那一格。此source在path分支前也算power，雖不輸出仍核運算界。 步驟識別與依賴規則：Markov_EACH_full_power_matrix_ALL_entries_and_source_envelopes · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry0,0 middle0 product, rmul, [[2, 5], [2, 5]], [1, 1], 4, 25] 操作後 derived = [4, 25, 4/25] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Markov power2 entry0,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product := mul(2/5, 2/5) 操作後 Markov power2 entry0,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product = 4/25 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry0,0 through middle0, radd, [[0, 1], [4, 25]], [1], 4, 25] 操作後 derived = [4, 25, 4/25] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Markov power2 entry0,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 4/25) 操作後 Markov power2 entry0,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum = 4/25 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry0,0 middle1 product, rmul, [[3, 5], [3, 4]], [1, 1], 9, 20] 操作後 derived = [9, 20, 9/20] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Markov power2 entry0,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product := mul(3/5, 3/4) 操作後 Markov power2 entry0,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product = 9/20 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry0,0 through middle1, radd, [[4, 25], [9, 20]], [5], 61, 100] 操作後 derived = [61, 100, 61/100] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Markov power2 entry0,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum := sum(4/25, 9/20) 操作後 Markov power2 entry0,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum = 61/100 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry0,1 middle0 product, rmul, [[2, 5], [3, 5]], [1, 1], 6, 25] 操作後 derived = [6, 25, 6/25] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Markov power2 entry0,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product := mul(2/5, 3/5) 操作後 Markov power2 entry0,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product = 6/25 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry0,1 through middle0, radd, [[0, 1], [6, 25]], [1], 6, 25] 操作後 derived = [6, 25, 6/25] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Markov power2 entry0,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 6/25) 操作後 Markov power2 entry0,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum = 6/25 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry0,1 middle1 product, rmul, [[3, 5], [1, 4]], [1, 1], 3, 20] 操作後 derived = [3, 20, 3/20] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Markov power2 entry0,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product := mul(3/5, 1/4) 操作後 Markov power2 entry0,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product = 3/20 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry0,1 through middle1, radd, [[6, 25], [3, 20]], [5], 39, 100] 操作後 derived = [39, 100, 39/100] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Markov power2 entry0,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum := sum(6/25, 3/20) 操作後 Markov power2 entry0,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum = 39/100 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry1,0 middle0 product, rmul, [[3, 4], [2, 5]], [1, 2], 3, 10] 操作後 derived = [3, 10, 3/10] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Markov power2 entry1,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product := mul(3/4, 2/5) 操作後 Markov power2 entry1,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product = 3/10 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry1,0 through middle0, radd, [[0, 1], [3, 10]], [1], 3, 10] 操作後 derived = [3, 10, 3/10] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Markov power2 entry1,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 3/10) 操作後 Markov power2 entry1,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum = 3/10 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry1,0 middle1 product, rmul, [[1, 4], [3, 4]], [1, 1], 3, 16] 操作後 derived = [3, 16, 3/16] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Markov power2 entry1,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product := mul(1/4, 3/4) 操作後 Markov power2 entry1,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product = 3/16 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry1,0 through middle1, radd, [[3, 10], [3, 16]], [2], 39, 80] 操作後 derived = [39, 80, 39/80] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Markov power2 entry1,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum := sum(3/10, 3/16) 操作後 Markov power2 entry1,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum = 39/80 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry1,1 middle0 product, rmul, [[3, 4], [3, 5]], [1, 1], 9, 20] 操作後 derived = [9, 20, 9/20] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 Markov power2 entry1,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product := mul(3/4, 3/5) 操作後 Markov power2 entry1,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product = 9/20 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry1,1 through middle0, radd, [[0, 1], [9, 20]], [1], 9, 20] 操作後 derived = [9, 20, 9/20] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Markov power2 entry1,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum := sum(0, 9/20) 操作後 Markov power2 entry1,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum = 9/20 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry1,1 middle1 product, rmul, [[1, 4], [1, 4]], [1, 1], 1, 16] 操作後 derived = [1, 16, 1/16] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 Markov power2 entry1,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product := mul(1/4, 1/4) 操作後 Markov power2 entry1,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product = 1/16 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · implies操作前 source roles = [Markov power2 entry1,1 through middle1, radd, [[9, 20], [1, 16]], [4], 41, 80] 操作後 derived = [41, 80, 41/80] 條件：無 這是來源可接受運算切片：先cancel指定因子，再對傳入rational的num/den驗±100萬、den非0，之後才sign/gcd約分。超界是SOURCE切片不合，不表示數學式為假；其他衍生整數不普遍套此界。 步驟識別與依賴規則：Wave_RATIONAL_SOURCE_PREreduction_1million_guard_and_cancellations · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Markov power2 entry1,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum := sum(9/20, 1/16) 操作後 Markov power2 entry1,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum = 41/80 條件：無 保原操作數與次序作精確運算；有理計算另驗此MOD25來源的pre-reduction界。不是把所有衍生整數都截成100萬，也不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · implies操作前 source roles = [2, [[2/5, 3/5], [3/4, 1/4]], [[2/5, 3/5], [3/4, 1/4]]] 操作後 derived = [[[61/100, 39/100], [39/80, 41/80]]] 條件：無 全矩陣所有entries都由完整dot products累加；不是只算詢問那一格。此source在path分支前也算power，雖不輸出仍核運算界。 步驟識別與依賴規則：Markov_EACH_full_power_matrix_ALL_entries_and_source_envelopes · 依賴：G001, S084 S086 · implies操作前 source roles = [1, 0, 2] 操作後 derived = [[[61/100, 39/100], [39/80, 41/80]], 39/80] 條件：無 方向為from row到to column；0步同state才1，不額外創initial law。 步驟識別與依賴規則：Markov_ENTRY_current_row_to_next_column_NO_invented_initial_law · 依賴：G001, S085 ## 逐步反向核對 - S086 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S085 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry1,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry1,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry1,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry1,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry1,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry1,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry1,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry1,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry0,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry0,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry0,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry0,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry0,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry0,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry0,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power2 entry0,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S052 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry1,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry1,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry1,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry1,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry1,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry1,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry1,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry1,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry0,1 through middle1 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry0,1 middle1 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry0,1 through middle0 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry0,1 middle0 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry0,0 through middle1 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry0,0 middle1 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry0,0 through middle0 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov power1 entry0,0 middle0 product ORIGINAL exact rational product，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov RAW row1 normalization through column1 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov RAW row1 normalization through column0 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov RAW P row1 column1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov RAW P row1 column0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov RAW row0 normalization through column1 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov RAW row0 normalization through column0 ORIGINAL exact rational sum，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov RAW P row0 column1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov RAW P row0 column0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。 ## 結論 (1, 0, 2, [[61/100, 39/100], [39/80, 41/80]], 39/80) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 874105c81ae5781337cc4cbfc5c3b2e2318ec0a919a13a3fbc0db65accdd6555 - candidate record SHA-256: a4ba0adfcc5abef748689f9d71be7dcfc2dcb12837e8f39302e6f4b113cea6d4 - semantic review receipt SHA-256: 92bb5fa69818f30cd2806d74a26bd5ede6c48c80d2ecc3d31a5130d4ad7666b6 - question-first witness SHA-256: 012b5aa905280d616be49aa9462daaa73bf7f6247d0a796e78bc5bcd24e6bd00 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 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