# 第 12001 題：有限阿貝爾群 [返回所在分頁 61](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/61/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261026-r01-finite-abelian-group-foundations/#q-20261013-advance-20261026-r01-finite-abelian-group-0001) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0023-12001 · q-20261013-advance-20261026-r01-finite-abelian-group-0001 ## 原題與已知條件 完整有限Cayley表先通過全部群公理。操作=abelian-commutativity-audit；資料={"n":6,"table":[[0,1,2,3,4,5],[1,2,3,4,5,0],[2,3,4,5,0,1],[3,4,5,0,1,2],[4,5,0,1,2,3],[5,0,1,2,3,4]]}。請依 [n,identity,noncommuting_pairs,abelian] 欄序回答。 - G001 — 完整有限Cayley表先通過全部群公理。操作=abelian-commutativity-audit；資料={"n":6,"table":[[0,1,2,3,4,5],[1,2,3,4,5,0],[2,3,4,5,0,1],[3,4,5,0,1,2],[4,5,0,1,2,3],[5,0,1,2,3,4]]}。請依 [n,identity,noncommuting_pairs,abelian] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-abelian-group](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-abelian-group/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 carrier Fin(6);complete Cayley table=[[0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 2, 3, 4, 5, 0], [2, 3, 4, 5, 0, 1], [3, 4, 5, 0, 1, 2], [4, 5, 0, 1, 2, 3], [5, 0, 1, 2, 3, 4]] 操作後 all entries lie in carrier;do not assume identity0 or commutativity 條件：無 先固定完整運算表與標籤，合型封閉只是第一條群前提；名字含Abelian不替代交換律檢查。 步驟識別與依賴規則：complete_finite_group_typed_table · 依賴：G001 S002 · implies操作前 a=0;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 a=0;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 a=0;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];a*(b*c) values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 a=0;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];a*(b*c) values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 a=0;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];a*(b*c) values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 a=0;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 a=1;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 a=1;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];a*(b*c) values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 a=1;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];a*(b*c) values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 a=1;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];a*(b*c) values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 a=1;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 a=1;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 a=2;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];a*(b*c) values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 a=2;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];a*(b*c) values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 a=2;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];a*(b*c) values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 a=2;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 a=2;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 a=2;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 a=3;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];a*(b*c) values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 a=3;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];a*(b*c) values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 a=3;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 a=3;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 a=3;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 a=3;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];a*(b*c) values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 a=4;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];a*(b*c) values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 a=4;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 a=4;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 a=4;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 a=4;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];a*(b*c) values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 a=4;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];a*(b*c) values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 a=5;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 1, 2, 3, 4];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 a=5;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 a=5;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 2, 3, 4, 5, 0];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 a=5;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];a*(b*c) values=[2, 3, 4, 5, 0, 1];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 a=5;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];a*(b*c) values=[3, 4, 5, 0, 1, 2];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 a=5;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 (a*b)*c values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];a*(b*c) values=[4, 5, 0, 1, 2, 3];equal=是 條件：無 固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。 步驟識別與依賴規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 candidate identity=0;left products=[0, 1, 2, 3, 4, 5];right products=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 both equal original carrier labels=是 條件：無 同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。 步驟識別與依賴規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 candidate identity=1;left products=[1, 2, 3, 4, 5, 0];right products=[1, 2, 3, 4, 5, 0] 操作後 both equal original carrier labels=否 條件：無 同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。 步驟識別與依賴規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 candidate identity=2;left products=[2, 3, 4, 5, 0, 1];right products=[2, 3, 4, 5, 0, 1] 操作後 both equal original carrier labels=否 條件：無 同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。 步驟識別與依賴規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 candidate identity=3;left products=[3, 4, 5, 0, 1, 2];right products=[3, 4, 5, 0, 1, 2] 操作後 both equal original carrier labels=否 條件：無 同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。 步驟識別與依賴規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 candidate identity=4;left products=[4, 5, 0, 1, 2, 3];right products=[4, 5, 0, 1, 2, 3] 操作後 both equal original carrier labels=否 條件：無 同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。 步驟識別與依賴規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 candidate identity=5;left products=[5, 0, 1, 2, 3, 4];right products=[5, 0, 1, 2, 3, 4] 操作後 both equal original carrier labels=否 條件：無 同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。 步驟識別與依賴規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 element=0;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[0] 操作後 inverse=0 條件：無 對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。 步驟識別與依賴規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 element=1;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[5] 操作後 inverse=5 條件：無 對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。 步驟識別與依賴規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 element=2;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[4] 操作後 inverse=4 條件：無 對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。 步驟識別與依賴規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 element=3;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[3] 操作後 inverse=3 條件：無 對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。 步驟識別與依賴規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 element=4;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[2] 操作後 inverse=2 條件：無 對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。 步驟識別與依賴規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 element=5;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[1] 操作後 inverse=1 條件：無 對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。 步驟識別與依賴規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 unordered distinct labels=[0, 1];a*b=1;b*a=1 操作後 commute=是 條件：無 對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a