# 第 12136 題：Cauchy序列 [返回所在分頁 61](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/61/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261026-r03-cauchy-sequence-foundations/#q-20261013-advance-20261026-r03-cauchy-sequence-0011) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0023-12136 · q-20261013-advance-20261026-r03-cauchy-sequence-0011 ## 原題與已知條件 保留forall epsilon exists N forall m,n>=N。操作=cauchy-finite-tail-audit；資料={"sequence":[[1,12],[1,13],[1,14],[1,15],[1,16]],"epsilon":[1,3],"N":1}。請依 [sequence,epsilon,N,bad_pairs,finite_tail_pass,general_cauchy,boundary] 欄序回答。 - G001 — 保留forall epsilon exists N forall m,n>=N。操作=cauchy-finite-tail-audit；資料={"sequence":[[1,12],[1,13],[1,14],[1,15],[1,16]],"epsilon":[1,3],"N":1}。請依 [sequence,epsilon,N,bad_pairs,finite_tail_pass,general_cauchy,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-cauchy-sequence](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cauchy-sequence/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 raw sequence=[[1, 12], [1, 13], [1, 14], [1, 15], [1, 16]];raw epsilon=[1, 3] 操作後 normalized sequence=[1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16];positive epsilon=1/3;cutoff=1 條件：無 原分母非零，正規化後epsilon必須正；只核紀錄中的索引，N可等於長度而得到空尾段。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_exact_data_and_cutoff · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 recorded pair1,1 signed difference := sub(1/13, 1/13) 操作後 recorded pair1,1 signed difference = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 ordered recorded indices=[1, 1];signed difference=0;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=0;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recorded pair1,2 signed difference := sub(1/13, 1/14) 操作後 recorded pair1,2 signed difference = 1/182 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ordered recorded indices=[1, 2];signed difference=1/182;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=1/182;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recorded pair1,3 signed difference := sub(1/13, 1/15) 操作後 recorded pair1,3 signed difference = 2/195 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 ordered recorded indices=[1, 3];signed difference=2/195;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=2/195;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 recorded pair1,4 signed difference := sub(1/13, 1/16) 操作後 recorded pair1,4 signed difference = 3/208 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ordered recorded indices=[1, 4];signed difference=3/208;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=3/208;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 recorded pair2,1 signed difference := sub(1/14, 1/13) 操作後 recorded pair2,1 signed difference = -1/182 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 ordered recorded indices=[2, 1];signed difference=-1/182;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=1/182;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 recorded pair2,2 signed difference := sub(1/14, 1/14) 操作後 recorded pair2,2 signed difference = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 ordered recorded indices=[2, 2];signed difference=0;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=0;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 recorded pair2,3 signed difference := sub(1/14, 1/15) 操作後 recorded pair2,3 signed difference = 1/210 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 ordered recorded indices=[2, 3];signed difference=1/210;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=1/210;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 recorded pair2,4 signed difference := sub(1/14, 1/16) 操作後 recorded pair2,4 signed difference = 1/112 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 ordered recorded indices=[2, 4];signed difference=1/112;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=1/112;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 recorded pair3,1 signed difference := sub(1/15, 1/13) 操作後 recorded pair3,1 signed difference = -2/195 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 ordered recorded indices=[3, 1];signed difference=-2/195;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=2/195;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 recorded pair3,2 signed difference := sub(1/15, 1/14) 操作後 recorded pair3,2 signed difference = -1/210 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 ordered recorded indices=[3, 2];signed difference=-1/210;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=1/210;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 recorded pair3,3 signed difference := sub(1/15, 1/15) 操作後 recorded pair3,3 signed difference = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 ordered recorded indices=[3, 3];signed difference=0;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=0;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 recorded pair3,4 signed difference := sub(1/15, 1/16) 操作後 recorded pair3,4 signed difference = 1/240 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 ordered recorded indices=[3, 4];signed difference=1/240;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=1/240;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 recorded pair4,1 signed difference := sub(1/16, 1/13) 操作後 recorded pair4,1 signed difference = -3/208 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 ordered recorded indices=[4, 1];signed difference=-3/208;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=3/208;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 recorded pair4,2 signed difference := sub(1/16, 1/14) 操作後 recorded pair4,2 signed difference = -1/112 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 ordered recorded indices=[4, 2];signed difference=-1/112;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=1/112;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 recorded pair4,3 signed difference := sub(1/16, 1/15) 操作後 recorded pair4,3 signed difference = -1/240 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 ordered recorded indices=[4, 3];signed difference=-1/240;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=1/240;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 recorded pair4,4 signed difference := sub(1/16, 1/16) 操作後 recorded pair4,4 signed difference = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 ordered recorded indices=[4, 4];signed difference=0;epsilon=1/3 操作後 absolute distance=0;strictly below epsilon=是 條件：無 用絕對距離與嚴格小於，等於epsilon也失敗；按完整有序索引對輸出，不只比相鄰項。 步驟識別與依賴規則：finite_Cauchy_each_ordered_tail_pair · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 all bad recorded pairs=[] 操作後 finite recorded tail passes=是;general Cauchy established=否 條件：無 空尾段可空泛通過，但有限紀錄沒有給∀epsilon存在N且所有無限尾對的義務。此No是未證，不是說每種無限接續都非Cauchy。 步驟識別與依賴規則：finite_tail_not_quantified_infinite_Cauchy · 依賴：G001, S033 ## 逐步反向核對 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair4,4 signed difference，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair4,3 signed difference，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair4,2 signed difference，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair4,1 signed difference，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair3,4 signed difference，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair3,3 signed difference，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair3,2 signed difference，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair3,1 signed difference，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair2,4 signed difference，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair2,3 signed difference，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair2,2 signed difference，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair2,1 signed difference，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair1,4 signed difference，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair1,3 signed difference，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair1,2 signed difference，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recorded pair1,1 signed difference，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16], 1/3, 1, [], 是, 否, 有限尾段不足以證一般Cauchy) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c431a7b695f7595ae9b3335421618dfb0d28d2a77272c193dad11e5d22ef08fe - candidate record SHA-256: 07428a2c855ce26a061ca90ea46fe6f5836f82c15c7b03302950018436566c7c - semantic review receipt SHA-256: f783e81f44ff0faa13dbf948657e9187244a59a809ebdf96f22cca24966649ff - question-first witness SHA-256: 49a50ed0550be55124d6562260c2ccf4fa6d3f316d7ad9d0d32174400e362e18 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261026-r03-cauchy-sequence-0011.json)