# 第 12170 題：Cauchy序列 [返回所在分頁 61](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/61/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261026-r03-cauchy-sequence-foundations/#q-20261013-advance-20261026-r03-cauchy-sequence-0070) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0023-12170 · q-20261013-advance-20261026-r03-cauchy-sequence-0070 ## 原題與已知條件 保留forall epsilon exists N forall m,n>=N。操作=cauchy-reciprocal-epsilon-witness；資料={"shift":20,"epsilon":[1,22]}。請依 [shift,epsilon,N,bound,witness,cauchy_for_epsilon] 欄序回答。 - G001 — 保留forall epsilon exists N forall m,n>=N。操作=cauchy-reciprocal-epsilon-witness；資料={"shift":20,"epsilon":[1,22]}。請依 [shift,epsilon,N,bound,witness,cauchy_for_epsilon] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-cauchy-sequence](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cauchy-sequence/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 epsilon reciprocal threshold := div(22, 1) 操作後 epsilon reciprocal threshold = 22 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · implies操作前 positive epsilon=1/22;reciprocal threshold=22 操作後 floor threshold=22;22*1<=22<(22+1)*1 條件：無 1/(N+shift)b/a，因a及分母皆正；先取精確下整數以處理嚴格邊界。 步驟識別與依賴規則：exact_integer_threshold_floor · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 unclamped reciprocal cutoff := sum(22, -20, 1) 操作後 unclamped reciprocal cutoff = 3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 reciprocal tail bound denominator := sum(3, 20) 操作後 reciprocal tail bound denominator = 23 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 reciprocal tail bound := div(1, 23) 操作後 reciprocal tail bound = 1/23 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 previous cutoff denominator := sum(2, 20) 操作後 previous cutoff denominator = 22 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 previous cutoff bound := div(1, 22) 操作後 previous cutoff bound = 1/22 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 N=3;bound=1/23;previous bound=1/22;epsilon=1/22 操作後 current bound is strict;previous cutoff fails;N is least nonnegative 條件：無 正倒數隨索引遞減，前一門檻仍≥epsilon，故所有更小非負索引都失敗；保留等號失敗情況。 步驟識別與依賴規則：reciprocal_least_cutoff_strict_boundary · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 explicit x_n=1/(n+20);N=3;bound=1/23=N:both terms in[0,bound],so distance<=bound=N implies distance<=1/(N+shift)