# 第 12110 題：Cauchy序列

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0023-12110 · q-20261013-advance-20261026-r03-cauchy-sequence-0085



## 原題與已知條件

保留forall epsilon exists N forall m,n>=N。操作=cauchy-alternating-counterexample；資料={"amplitude":10,"N":19}。請依 [amplitude,N,next_index,epsilon,distance,counterexample,cauchy] 欄序回答。


- G001 — 保留forall epsilon exists N forall m,n>=N。操作=cauchy-alternating-counterexample；資料={"amplitude":10,"N":19}。請依 [amplitude,N,next_index,epsilon,distance,counterexample,cauchy] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-cauchy-sequence](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cauchy-sequence/)





## 逐步推導

S001 · calculation操作前

opposite adjacent tail distance := mul(2, 10)

操作後

opposite adjacent tail distance = 20

條件：無

依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001





S002 · implies操作前

explicit x_n=(10)*(-1)^n;arbitrary proposed cutoff N=19;epsilon=10

操作後

indices=[19, 20];opposite signs give distance=20>=epsilon;counterexample=是;Cauchy=否

條件：無

固定正epsilon=A，對任意N取N與N+1，它們皆在尾段且符號相反，距離2A≥A；故每個N都失敗。最後旗標是Cauchy，不是not_cauchy，沿用已更正來源欄名。

步驟識別與依賴規則：alternating_fixed_epsilon_every_cutoff_counterexample · 依賴：G001, S001









## 逐步反向核對


- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 opposite adjacent tail distance，不以小數近似替代。





## 結論

(10, 19, 20, 10, 20, 是, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 95ed5c82f3e087019a677208ba6f5773200ac5954cd67d234966b94feaf78d73
- candidate record SHA-256: 5712bebc8d7ad9f6fca62d0af9374c342a338c9240a8f494aea8b2ac2dac2305
- semantic review receipt SHA-256: f783e81f44ff0faa13dbf948657e9187244a59a809ebdf96f22cca24966649ff
- question-first witness SHA-256: 49a50ed0550be55124d6562260c2ccf4fa6d3f316d7ad9d0d32174400e362e18
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261026-r03-cauchy-sequence-0085.json)