# 第 12241 題：協方差 [返回所在分頁 62](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/62/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261026-r05-covariance-foundations/#q-20261013-advance-20261026-r05-covariance-0016) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0023-12241 · q-20261013-advance-20261026-r05-covariance-0016 ## 原題與已知條件 協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-compute；資料={"support":[[3,-1],[4,0],[5,1],[6,2]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]]}。請依 [E_X,E_Y,E_XY,covariance] 欄序回答。 - G001 — 協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-compute；資料={"support":[[3,-1],[4,0],[5,1],[6,2]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]]}。請依 [E_X,E_Y,E_XY,covariance] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-covariance](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-covariance/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 joint law total mass := sum(1/8, 1/4, 1/8, 1/2) 操作後 joint law total mass = 1 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · implies操作前 original distinct joint pairs=[[3, -1], [4, 0], [5, 1], [6, 2]];raw aligned masses=[[1, 8], [1, 4], [1, 8], [1, 2]] 操作後 normalized aligned masses=[1/8, 1/4, 1/8, 1/2];nonnegative=是;total=1 條件：無 只用同一共同機率空間的完整原始聯合表，保留順序、配對與零質量；每個質量非負且精確總和1才可求協方差。 步驟識別與依賴規則：qualify_whole_joint_law_preserve_alignment · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 original atom0 weighted X := mul(1/8, 3) 操作後 original atom0 weighted X = 3/8 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 original atom0 weighted Y := mul(1/8, -1) 操作後 original atom0 weighted Y = -1/8 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 original atom0 XY := mul(3, -1) 操作後 original atom0 XY = -3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 original atom0 weighted XY := mul(1/8, -3) 操作後 original atom0 weighted XY = -3/8 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 original atom1 weighted X := mul(1/4, 4) 操作後 original atom1 weighted X = 1 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 original atom1 weighted Y := mul(1/4, 0) 操作後 original atom1 weighted Y = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 original atom1 XY := mul(4, 0) 操作後 original atom1 XY = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 original atom1 weighted XY := mul(1/4, 0) 操作後 original atom1 weighted XY = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 original atom2 weighted X := mul(1/8, 5) 操作後 original atom2 weighted X = 5/8 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 original atom2 weighted Y := mul(1/8, 1) 操作後 original atom2 weighted Y = 1/8 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 original atom2 XY := mul(5, 1) 操作後 original atom2 XY = 5 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 original atom2 weighted XY := mul(1/8, 5) 操作後 original atom2 weighted XY = 5/8 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 original atom3 weighted X := mul(1/2, 6) 操作後 original atom3 weighted X = 3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 original atom3 weighted Y := mul(1/2, 2) 操作後 original atom3 weighted Y = 1 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 original atom3 XY := mul(6, 2) 操作後 original atom3 XY = 12 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 original atom3 weighted XY := mul(1/2, 12) 操作後 original atom3 weighted XY = 6 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 original E_X := sum(3/8, 1, 5/8, 3) 操作後 original E_X = 5 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 original E_Y := sum(-1/8, 0, 1/8, 1) 操作後 original E_Y = 1 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 original E_XY := sum(-3/8, 0, 5/8, 6) 操作後 original E_XY = 25/4 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 original product of means := mul(5, 1) 操作後 original product of means = 5 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 original covariance := sub(25/4, 5) 操作後 original covariance = 5/4 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 original:E_X=5;E_Y=1;E_XY=25/4 操作後 Cov=E_XY-E_X*E_Y=5/4 條件：無 三個期望全部使用相同原子與質量，不能混合不同邊際模型，亦不假設獨立。 步驟識別與依賴規則：covariance_same_joint_three_moments · 依賴：G001, S023 ## 逐步反向核對 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original covariance，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product of means，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_XY，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_Y，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_X，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted XY，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 XY，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted Y，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted X，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted XY，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 XY，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted Y，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted X，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted XY，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 XY，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted Y，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted X，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted XY，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 XY，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted Y，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted X，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint law total mass，不以小數近似替代。 ## 結論 (5, 1, 25/4, 5/4) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f43d9645fd7d3e5b856369eb4f580084ab3912f916b824dd50d42fa2c8da5449 - candidate record SHA-256: 69e4878d84ef8f83023c6ef0578a21eded4f9ae137831a409d59bc1eac0bea97 - semantic review receipt SHA-256: f783e81f44ff0faa13dbf948657e9187244a59a809ebdf96f22cca24966649ff - question-first witness SHA-256: 49a50ed0550be55124d6562260c2ccf4fa6d3f316d7ad9d0d32174400e362e18 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261026-r05-covariance-0016.json)