# 第 12283 題：協方差 [返回所在分頁 62](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/62/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261026-r05-covariance-foundations/#q-20261013-advance-20261026-r05-covariance-0083) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0023-12283 · q-20261013-advance-20261026-r05-covariance-0083 ## 原題與已知條件 協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-zero-counterexample；資料={"scale":8}。請依 [scale,covariance,joint_zero,product_zero,zero_covariance,dependent,boundary] 欄序回答。 - G001 — 協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-zero-counterexample；資料={"scale":8}。請依 [scale,covariance,joint_zero,product_zero,zero_covariance,dependent,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-covariance](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-covariance/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 zero covariance scale squared := mul(8, 8) 操作後 zero covariance scale squared = 64 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 joint law total mass := sum(1/3, 1/3, 1/3) 操作後 joint law total mass = 1 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original distinct joint pairs=[[-8, 64], [0, 0], [8, 64]];raw aligned masses=[[1, 3], [1, 3], [1, 3]] 操作後 normalized aligned masses=[1/3, 1/3, 1/3];nonnegative=是;total=1 條件：無 只用同一共同機率空間的完整原始聯合表，保留順序、配對與零質量；每個質量非負且精確總和1才可求協方差。 步驟識別與依賴規則：qualify_whole_joint_law_preserve_alignment · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 original atom0 weighted X := mul(1/3, -8) 操作後 original atom0 weighted X = -8/3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 original atom0 weighted Y := mul(1/3, 64) 操作後 original atom0 weighted Y = 64/3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 original atom0 XY := mul(-8, 64) 操作後 original atom0 XY = -512 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 original atom0 weighted XY := mul(1/3, -512) 操作後 original atom0 weighted XY = -512/3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 original atom1 weighted X := mul(1/3, 0) 操作後 original atom1 weighted X = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 original atom1 weighted Y := mul(1/3, 0) 操作後 original atom1 weighted Y = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 original atom1 XY := mul(0, 0) 操作後 original atom1 XY = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 original atom1 weighted XY := mul(1/3, 0) 操作後 original atom1 weighted XY = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 original atom2 weighted X := mul(1/3, 8) 操作後 original atom2 weighted X = 8/3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 original atom2 weighted Y := mul(1/3, 64) 操作後 original atom2 weighted Y = 64/3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 original atom2 XY := mul(8, 64) 操作後 original atom2 XY = 512 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 original atom2 weighted XY := mul(1/3, 512) 操作後 original atom2 weighted XY = 512/3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 original E_X := sum(-8/3, 0, 8/3) 操作後 original E_X = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 original E_Y := sum(64/3, 0, 64/3) 操作後 original E_Y = 128/3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 original E_XY := sum(-512/3, 0, 512/3) 操作後 original E_XY = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 original product of means := mul(0, 128/3) 操作後 original product of means = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 original covariance := sub(0, 0) 操作後 original covariance = 0 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 original:E_X=0;E_Y=128/3;E_XY=0 操作後 Cov=E_XY-E_X*E_Y=0 條件：無 三個期望全部使用相同原子與質量，不能混合不同邊際模型，亦不假設獨立。 步驟識別與依賴規則：covariance_same_joint_three_moments · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 joint zero event mass := sum(1/3) 操作後 joint zero event mass = 1/3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 X zero marginal mass := sum(1/3) 操作後 X zero marginal mass = 1/3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Y zero marginal mass := sum(1/3) 操作後 Y zero marginal mass = 1/3 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 zero event product of marginal masses := mul(1/3, 1/3) 操作後 zero event product of marginal masses = 1/9 條件：無 依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 X uniform on [-8, 0, 8];Y=X^2;Cov=0;P(X=0,Y=0)=1/3 操作後 P(X=0)*P(Y=0)=1/9;different=是 條件：無 對稱性使E[X]與E[XY]為0，故協方差0；但獨立要求每對事件聯合質量等於邊際乘積，一個0事件反例1/3≠1/9即可否證。 步驟識別與依賴規則：zero_covariance_explicit_independence_counterevent · 依賴：G001, S025 ## 逐步反向核對 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero event product of marginal masses，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y zero marginal mass，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X zero marginal mass，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint zero event mass，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original covariance，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product of means，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_XY，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_Y，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_X，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted XY，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 XY，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted Y，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted X，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted XY，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 XY，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted Y，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted X，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted XY，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 XY，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted Y，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted X，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint law total mass，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero covariance scale squared，不以小數近似替代。 ## 結論 (8, 0, 1/3, 1/9, 是, 是, 零協方差但不獨立) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c548d51595a3516c808ed95b91aaa6ba75bea54ff6c175a2cc0ed87d02f73182 - candidate record SHA-256: cc78ed56a1c342993a73904c51b42ef17f12333c5b5fa120b48776cf4179605d - semantic review receipt SHA-256: f783e81f44ff0faa13dbf948657e9187244a59a809ebdf96f22cca24966649ff - question-first witness SHA-256: 49a50ed0550be55124d6562260c2ccf4fa6d3f316d7ad9d0d32174400e362e18 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261026-r05-covariance-0083.json)