# 第 12305 題：等價關係 [返回所在分頁 62](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/62/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261026-r07-equivalence-relation-foundations/#q-20261013-advance-20261026-r07-equivalence-relation-0080) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0023-12305 · q-20261013-advance-20261026-r07-equivalence-relation-0080 ## 原題與已知條件 固定完整有限載體與關係對集合。操作=equiv-qualification-classes；資料={"n":6,"pairs":[[0,0],[0,2],[1,1],[1,3],[2,0],[2,2],[3,1],[3,3],[4,4],[4,5],[5,4],[5,5]]}。請依 [n,missing_reflexive,missing_symmetric,missing_transitive,equivalence,classes] 欄序回答。 - G001 — 固定完整有限載體與關係對集合。操作=equiv-qualification-classes；資料={"n":6,"pairs":[[0,0],[0,2],[1,1],[1,3],[2,0],[2,2],[3,1],[3,3],[4,4],[4,5],[5,4],[5,5]]}。請依 [n,missing_reflexive,missing_symmetric,missing_transitive,equivalence,classes] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-equivalence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-equivalence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 raw relation pairs=[[0, 0], [0, 2], [1, 1], [1, 3], [2, 0], [2, 2], [3, 1], [3, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 4], [5, 5]];carrier Fin(6) 操作後 lexicographically sorted distinct ordered pairs=[[0, 0], [0, 2], [1, 1], [1, 3], [2, 0], [2, 2], [3, 1], [3, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 4], [5, 5]] 條件：無 方向有別的關係對按詞典序列出；重複不是合法輸入，不自行補反向、對角或傳遞閉包。 步驟識別與依賴規則：complete_relation_no_duplicate_or_implicit_repair · 依賴：G001 S002 · implies操作前 carrier label=0;required diagonal=[0, 0] 操作後 present=是 條件：無 完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。 步驟識別與依賴規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 carrier label=1;required diagonal=[1, 1] 操作後 present=是 條件：無 完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。 步驟識別與依賴規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 carrier label=2;required diagonal=[2, 2] 操作後 present=是 條件：無 完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。 步驟識別與依賴規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 carrier label=3;required diagonal=[3, 3] 操作後 present=是 條件：無 完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。 步驟識別與依賴規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 carrier label=4;required diagonal=[4, 4] 操作後 present=是 條件：無 完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。 步驟識別與依賴規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 carrier label=5;required diagonal=[5, 5] 操作後 present=是 條件：無 完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。 步驟識別與依賴規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 original pair=[0, 0];required reverse=[0, 0] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 original pair=[0, 2];required reverse=[2, 0] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 original pair=[1, 1];required reverse=[1, 1] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 original pair=[1, 3];required reverse=[3, 1] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 original pair=[2, 0];required reverse=[0, 2] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 original pair=[2, 2];required reverse=[2, 2] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 original pair=[3, 1];required reverse=[1, 3] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 original pair=[3, 3];required reverse=[3, 3] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 original pair=[4, 4];required reverse=[4, 4] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 original pair=[4, 5];required reverse=[5, 4] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 original pair=[5, 4];required reverse=[4, 5] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 original pair=[5, 5];required reverse=[5, 5] 操作後 reverse present=是 條件：無 檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。 步驟識別與依賴規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 first original pair=[0, 0];all composable second endpoints=[0, 2] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[0, 0, 0, 是], [0, 0, 2, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 first original pair=[0, 2];all composable second endpoints=[0, 2] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[0, 2, 0, 是], [0, 2, 2, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 first original pair=[1, 1];all composable second endpoints=[1, 3] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[1, 1, 1, 是], [1, 1, 3, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 first original pair=[1, 3];all composable second endpoints=[1, 3] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[1, 3, 1, 是], [1, 3, 3, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 first original pair=[2, 0];all composable second endpoints=[0, 2] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[2, 0, 0, 是], [2, 0, 2, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 first original pair=[2, 2];all composable second endpoints=[0, 2] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[2, 2, 0, 是], [2, 2, 2, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 first original pair=[3, 1];all composable second endpoints=[1, 3] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[3, 1, 1, 是], [3, 1, 3, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 first original pair=[3, 3];all composable second endpoints=[1, 3] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[3, 3, 1, 是], [3, 3, 3, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 first original pair=[4, 4];all composable second endpoints=[4, 5] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[4, 4, 4, 是], [4, 4, 5, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 first original pair=[4, 5];all composable second endpoints=[4, 5] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[4, 5, 4, 是], [4, 5, 5, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 first original pair=[5, 4];all composable second endpoints=[4, 5] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[5, 4, 4, 是], [5, 4, 5, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 first original pair=[5, 5];all composable second endpoints=[4, 5] 操作後 required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[5, 5, 4, 是], [5, 5, 5, 是]] 條件：無 完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。 步驟識別與依賴規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 least unseen representative=0;complete relation=[[0, 0], [0, 2], [1, 1], [1, 3], [2, 0], [2, 2], [3, 1], [3, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 4], [5, 5]] 操作後 class=[0, 2];seen=[0, 2] 條件：無 資格全通過後才用原關係取類，按最小未訪標籤選代表、類內遞增。等價公理保證類相等或不相交且覆蓋載體。 步驟識別與依賴規則：equivalence_class_after_all_axioms · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 least unseen representative=1;complete relation=[[0, 0], [0, 2], [1, 1], [1, 3], [2, 0], [2, 2], [3, 1], [3, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 4], [5, 5]] 操作後 class=[1, 3];seen=[0, 1, 2, 3] 條件：無 資格全通過後才用原關係取類，按最小未訪標籤選代表、類內遞增。等價公理保證類相等或不相交且覆蓋載體。 步驟識別與依賴規則：equivalence_class_after_all_axioms · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 least unseen representative=4;complete relation=[[0, 0], [0, 2], [1, 1], [1, 3], [2, 0], [2, 2], [3, 1], [3, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 4], [5, 5]] 操作後 class=[4, 5];seen=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 條件：無 資格全通過後才用原關係取類，按最小未訪標籤選代表、類內遞增。等價公理保證類相等或不相交且覆蓋載體。 步驟識別與依賴規則：equivalence_class_after_all_axioms · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 missing reflexive=[];missing reverses=[];missing transitive triples=[] 操作後 equivalence=是;classes=[[0, 2], [1, 3], [4, 5]] 條件：無 三條責任全通過才輸出類；任一不合時類清單留空，不藉連通分組修補原關係。 步驟識別與依賴規則：equivalence_three_obligations_no_silent_closure · 依賴：G001, S034 ## 逐步反向核對 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (6, [], [], [], 是, [[0, 2], [1, 3], [4, 5]]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8d7a41f715d40b1ea9a4f5296afb4289e151297d39a764325406ba7bd5d02cd9 - candidate record SHA-256: ae128afc545446a479d54b0034a40ff07be8aed9b0ed6f729a2498a06be79687 - semantic review receipt SHA-256: f783e81f44ff0faa13dbf948657e9187244a59a809ebdf96f22cca24966649ff - question-first witness SHA-256: 49a50ed0550be55124d6562260c2ccf4fa6d3f316d7ad9d0d32174400e362e18 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261026-r07-equivalence-relation-0080.json)