# 第 13173 題：範數誘導度量 [返回所在分頁 66](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/66/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261027-r02-norm-induced-metric-foundations/#q-20261014-advance-20261027-r02-norm-induced-metric-0048) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0025-13173 · q-20261014-advance-20261027-r02-norm-induced-metric-0048 ## 原題與已知條件 同一已認證範數以d(x,y)=norm(x-y)定義距離。操作=normmetric-symmetry；資料={"norm_name":"l1","left":[10,-2,-5],"right":[-10,0,0]}。請依 [norm_name,d_xy,d_yx,equal] 欄序回答。 - G001 — 同一已認證範數以d(x,y)=norm(x-y)定義距離。操作=normmetric-symmetry；資料={"norm_name":"l1","left":[10,-2,-5],"right":[-10,0,0]}。請依 [norm_name,d_xy,d_yx,equal] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-norm-induced-metric](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-norm-induced-metric/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 forward distance difference coordinate0 := sub(10, -10) 操作後 forward distance difference coordinate0 = 20 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 forward distance difference coordinate1 := sub(-2, 0) 操作後 forward distance difference coordinate1 = -2 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 forward distance difference coordinate2 := sub(-5, 0) 操作後 forward distance difference coordinate2 = -5 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 forward distance:norm=l1;left=[10, -2, -5];right=[-10, 0, 0] 操作後 signed left-right=[20, -2, -5];use same named norm 條件：無 在同一實座標空間以同一指定範數取差的範數；差可超過原輸入座標界，不能錯當非法新輸入而截斷。 步驟識別與依賴規則：norm_distance_same_space_and_direction · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 forward distance:coordinate=0;signed value=20 操作後 absolute value=20 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 forward distance:coordinate=1;signed value=-2 操作後 absolute value=2 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 forward distance:coordinate=2;signed value=-5 操作後 absolute value=5 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 forward distance l1 sum := sum(20, 2, 5) 操作後 forward distance l1 sum = 27 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 reverse distance difference coordinate0 := sub(-10, 10) 操作後 reverse distance difference coordinate0 = -20 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 reverse distance difference coordinate1 := sub(0, -2) 操作後 reverse distance difference coordinate1 = 2 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 reverse distance difference coordinate2 := sub(0, -5) 操作後 reverse distance difference coordinate2 = 5 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 reverse distance:norm=l1;left=[-10, 0, 0];right=[10, -2, -5] 操作後 signed left-right=[-20, 2, 5];use same named norm 條件：無 在同一實座標空間以同一指定範數取差的範數；差可超過原輸入座標界，不能錯當非法新輸入而截斷。 步驟識別與依賴規則：norm_distance_same_space_and_direction · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 reverse distance:coordinate=0;signed value=-20 操作後 absolute value=20 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 reverse distance:coordinate=1;signed value=2 操作後 absolute value=2 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 reverse distance:coordinate=2;signed value=5 操作後 absolute value=5 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 reverse distance l1 sum := sum(20, 2, 5) 操作後 reverse distance l1 sum = 27 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 forward=27;reverse=27;opposite difference vectors 操作後 equal=是 by norm(-v)=abs(-1)*norm(v)=norm(v) 條件：無 數值回核兩方向，通用理由是範數對−1的絕對齊次性，不是交換原始向量角色後丟失符號。 步驟識別與依賴規則：numeric_symmetry_with_universal_norm_reason · 依賴：G001, S016 ## 逐步反向核對 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reverse distance l1 sum，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reverse distance difference coordinate2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reverse distance difference coordinate1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reverse distance difference coordinate0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 forward distance l1 sum，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 forward distance difference coordinate2，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 forward distance difference coordinate1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 forward distance difference coordinate0，不以小數近似替代。 ## 結論 (l1, 27, 27, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 45e01ddcfd671e20a97c039d78dd4b80911dbc0cd83a7b06c9e0782f722b1bc3 - candidate record SHA-256: a741d673b1caf8a74da43f59e7f14e950f7bac89ac6353c945061bb04400b0b2 - semantic review receipt SHA-256: 0e51c2bf621e6e998415fdd75d260464e625cecd5894a230c9f09553249551c5 - question-first witness SHA-256: ceb79401a62782c9f7e5ed86afee9b1a71455f799bd24cf485cba7aa8ecaca8a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261027-r02-norm-induced-metric-0048.json)