# 第 13186 題：範數誘導度量 [返回所在分頁 66](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/66/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261027-r02-norm-induced-metric-foundations/#q-20261014-advance-20261027-r02-norm-induced-metric-0061) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0025-13186 · q-20261014-advance-20261027-r02-norm-induced-metric-0061 ## 原題與已知條件 同一已認證範數以d(x,y)=norm(x-y)定義距離。操作=normmetric-triangle-certificate；資料={"norm_name":"l1","x":[-2,0],"y":[-3,2],"z":[5,-2]}。請依 [norm_name,d_xz,d_xy,d_yz,rhs,pass,certificate] 欄序回答。 - G001 — 同一已認證範數以d(x,y)=norm(x-y)定義距離。操作=normmetric-triangle-certificate；資料={"norm_name":"l1","x":[-2,0],"y":[-3,2],"z":[5,-2]}。請依 [norm_name,d_xz,d_xy,d_yz,rhs,pass,certificate] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-norm-induced-metric](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-norm-induced-metric/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 x=[-2, 0];y=[-3, 2];z=[5, -2];same norm=l1 操作後 x-z=(x-y)+(y-z);universal norm triangle gives the metric triangle bound 條件：無 先固定三個向量差的關係與全稱範數規則，再核本題三個數值；不以一次通過建立任意metric公理。 步驟識別與依賴規則：triangle_identity_before_numeric_instance · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 x to z difference coordinate0 := sub(-2, 5) 操作後 x to z difference coordinate0 = -7 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 x to z difference coordinate1 := sub(0, -2) 操作後 x to z difference coordinate1 = 2 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 x to z:norm=l1;left=[-2, 0];right=[5, -2] 操作後 signed left-right=[-7, 2];use same named norm 條件：無 在同一實座標空間以同一指定範數取差的範數；差可超過原輸入座標界，不能錯當非法新輸入而截斷。 步驟識別與依賴規則：norm_distance_same_space_and_direction · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 x to z:coordinate=0;signed value=-7 操作後 absolute value=7 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 x to z:coordinate=1;signed value=2 操作後 absolute value=2 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 x to z l1 sum := sum(7, 2) 操作後 x to z l1 sum = 9 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 x to y difference coordinate0 := sub(-2, -3) 操作後 x to y difference coordinate0 = 1 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 x to y difference coordinate1 := sub(0, 2) 操作後 x to y difference coordinate1 = -2 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 x to y:norm=l1;left=[-2, 0];right=[-3, 2] 操作後 signed left-right=[1, -2];use same named norm 條件：無 在同一實座標空間以同一指定範數取差的範數；差可超過原輸入座標界，不能錯當非法新輸入而截斷。 步驟識別與依賴規則：norm_distance_same_space_and_direction · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 x to y:coordinate=0;signed value=1 操作後 absolute value=1 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 x to y:coordinate=1;signed value=-2 操作後 absolute value=2 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 x to y l1 sum := sum(1, 2) 操作後 x to y l1 sum = 3 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 y to z difference coordinate0 := sub(-3, 5) 操作後 y to z difference coordinate0 = -8 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 y to z difference coordinate1 := sub(2, -2) 操作後 y to z difference coordinate1 = 4 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 y to z:norm=l1;left=[-3, 2];right=[5, -2] 操作後 signed left-right=[-8, 4];use same named norm 條件：無 在同一實座標空間以同一指定範數取差的範數；差可超過原輸入座標界，不能錯當非法新輸入而截斷。 步驟識別與依賴規則：norm_distance_same_space_and_direction · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 y to z:coordinate=0;signed value=-8 操作後 absolute value=8 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 y to z:coordinate=1;signed value=4 操作後 absolute value=4 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 y to z l1 sum := sum(8, 4) 操作後 y to z l1 sum = 12 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 triangle right hand sum := sum(3, 12) 操作後 triangle right hand sum = 15 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 triangle right hand sum，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y to z l1 sum，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y to z difference coordinate1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y to z difference coordinate0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x to y l1 sum，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x to y difference coordinate1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x to y difference coordinate0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x to z l1 sum，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x to z difference coordinate1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x to z difference coordinate0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (l1, 9, 3, 12, 15, 是, norm_triangle_inequality) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f50dab9555714d5ce7731f9e11da69cda68d48b4045d9d27ae69b1af64973f2d - candidate record SHA-256: 2318e77a88d54f4db110776b76d8cb4a656a260a0ec7659d73d2bddc2dda4968 - semantic review receipt SHA-256: 0e51c2bf621e6e998415fdd75d260464e625cecd5894a230c9f09553249551c5 - question-first witness SHA-256: ceb79401a62782c9f7e5ed86afee9b1a71455f799bd24cf485cba7aa8ecaca8a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261027-r02-norm-induced-metric-0061.json)