# 第 12829 題：完備度量空間 [返回所在分頁 65](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/65/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-foundations/#q-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-0079) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0024-12829 · q-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-0079 ## 原題與已知條件 完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-evidence-mode-audit；資料={"n":4,"metric":[[0,6,13,17],[6,0,11,15],[13,11,0,22],[17,15,22,0]],"evidence_mode":"finite_minimum_separation"}。請依 [n,min_positive_distance,evidence_mode,sufficient,boundary] 欄序回答。 - G001 — 完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-evidence-mode-audit；資料={"n":4,"metric":[[0,6,13,17],[6,0,11,15],[13,11,0,22],[17,15,22,0]],"evidence_mode":"finite_minimum_separation"}。請依 [n,min_positive_distance,evidence_mode,sufficient,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-complete-metric-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complete-metric-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 carrier Fin(4);complete nonnegative integer metric candidate=[[0, 6, 13, 17], [6, 0, 11, 15], [13, 11, 0, 22], [17, 15, 22, 0]] 操作後 zero iff equal=是;symmetric=是 條件：無 先核整表的非負、對角與非對角分離、對稱，不只核本題用到的兩格；至少兩點是本最小正距離協定前提，不是單點空間不完備。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_separation_and_symmetry · 依賴：G001 S002 · implies操作前 endpoints=[0, 0];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[0, 12, 26, 34];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 endpoints=[0, 1];direct distance=6;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[6, 6, 24, 32];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 endpoints=[0, 2];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[13, 17, 13, 39];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 endpoints=[0, 3];direct distance=17;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[17, 21, 35, 17];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 endpoints=[1, 0];direct distance=6;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[6, 6, 24, 32];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 endpoints=[1, 1];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[12, 0, 22, 30];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 endpoints=[1, 2];direct distance=11;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[19, 11, 11, 37];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 endpoints=[1, 3];direct distance=15;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[23, 15, 33, 15];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 endpoints=[2, 0];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[13, 17, 13, 39];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 endpoints=[2, 1];direct distance=11;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[19, 11, 11, 37];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 endpoints=[2, 2];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[26, 22, 0, 44];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 endpoints=[2, 3];direct distance=22;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[30, 26, 22, 22];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 endpoints=[3, 0];direct distance=17;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[17, 21, 35, 17];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 endpoints=[3, 1];direct distance=15;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[23, 15, 33, 15];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 endpoints=[3, 2];direct distance=22;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[30, 26, 22, 22];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 endpoints=[3, 3];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[34, 30, 44, 0];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 all off-diagonal positive distances=[6, 13, 17, 6, 11, 15, 13, 11, 22, 17, 15, 22] 操作後 minimum positive distance delta=6>0 條件：無 有限非空正距離清單有正最小值，這是後續全稱Cauchy證書的空間尺度，不是從某條序列估出的門檻。 步驟識別與依賴規則：finite_metric_positive_minimum_separation · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 arbitrary Cauchy sequence in Fin(4);choose epsilon=delta=6>0 操作後 some N has every m,k>=N with d(x_m,x_k)<6;minimum separation forces x_m=x_k 條件：無 由Cauchy定義對epsilon=delta取得一個N。不同點的距離至少delta，但尾對嚴格小於delta，故任意尾對都相同，特別等於x_N。 步驟識別與依賴規則：every_Cauchy_sequence_eventually_constant · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 all tail terms equal x_N;typed sequence guarantees x_N in Fin(4) 操作後 for every positive eta,all k>=N have distance(x_k,x_N)=0