# 第 12838 題：完備度量空間 [返回所在分頁 65](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/65/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-foundations/#q-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-0088) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0024-12838 · q-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-0088 ## 原題與已知條件 完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-evidence-mode-audit；資料={"n":4,"metric":[[0,7,9,10],[7,0,10,11],[9,10,0,13],[10,11,13,0]],"evidence_mode":"sampled_sequences"}。請依 [n,min_positive_distance,evidence_mode,sufficient,boundary] 欄序回答。 - G001 — 完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-evidence-mode-audit；資料={"n":4,"metric":[[0,7,9,10],[7,0,10,11],[9,10,0,13],[10,11,13,0]],"evidence_mode":"sampled_sequences"}。請依 [n,min_positive_distance,evidence_mode,sufficient,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-complete-metric-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complete-metric-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 carrier Fin(4);complete nonnegative integer metric candidate=[[0, 7, 9, 10], [7, 0, 10, 11], [9, 10, 0, 13], [10, 11, 13, 0]] 操作後 zero iff equal=是;symmetric=是 條件：無 先核整表的非負、對角與非對角分離、對稱，不只核本題用到的兩格；至少兩點是本最小正距離協定前提，不是單點空間不完備。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_separation_and_symmetry · 依賴：G001 S002 · implies操作前 endpoints=[0, 0];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[0, 14, 18, 20];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 endpoints=[0, 1];direct distance=7;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[7, 7, 19, 21];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 endpoints=[0, 2];direct distance=9;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[9, 17, 9, 23];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 endpoints=[0, 3];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[10, 18, 22, 10];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 endpoints=[1, 0];direct distance=7;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[7, 7, 19, 21];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 endpoints=[1, 1];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[14, 0, 20, 22];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 endpoints=[1, 2];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[16, 10, 10, 24];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 endpoints=[1, 3];direct distance=11;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[17, 11, 23, 11];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 endpoints=[2, 0];direct distance=9;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[9, 17, 9, 23];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 endpoints=[2, 1];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[16, 10, 10, 24];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 endpoints=[2, 2];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[18, 20, 0, 26];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 endpoints=[2, 3];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[19, 21, 13, 13];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 endpoints=[3, 0];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[10, 18, 22, 10];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 endpoints=[3, 1];direct distance=11;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[17, 11, 23, 11];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 endpoints=[3, 2];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[19, 21, 13, 13];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 endpoints=[3, 3];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3] 操作後 all two-leg distances=[20, 22, 26, 0];direct<=every two-leg=是 條件：無 對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。 步驟識別與依賴規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 all off-diagonal positive distances=[7, 9, 10, 7, 10, 11, 9, 10, 13, 10, 11, 13] 操作後 minimum positive distance delta=7>0 條件：無 有限非空正距離清單有正最小值，這是後續全稱Cauchy證書的空間尺度，不是從某條序列估出的門檻。 步驟識別與依賴規則：finite_metric_positive_minimum_separation · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 qualified finite metric;delta=7;selected evidence mode=sampled_sequences 操作後 selected evidence sufficient=否;space completeness is not denied by sample insufficiency 條件：無 最小正距離方法覆蓋每個Cauchy序列，有限抽樣沒有這個量詞覆蓋。樣本模式的No只是否定證據充分，不說這個合格有限空間不完備。 步驟識別與依賴規則：complete_evidence_mode_not_truth_of_incompleteness · 依賴：G001, S018 ## 逐步反向核對 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (4, 7, sampled_sequences, 否, sampled_sequences_insufficient) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0f21fec174270b0da92e021402bd4db850676bd4141381cb5ab223db185bf1f3 - candidate record SHA-256: 3eb1b374c975abd7dee968f56a8589c9b147409df3b7cbf623ed638c5ef5e5a6 - semantic review receipt SHA-256: 1c8f6c2c6c75852cb93c08235684ce9f32ebe86065c58c693a04257e772c2d35 - question-first witness SHA-256: 05fd764b5f9f7fff6185003efe576d87632f6daf40606ac3839a7feafe4f80d8 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-0088.json)